Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3779 / 3749
↖ ↑ ↗
← S 81.582843°
E152.138672°		 ← 1 430.56 m → S 81.582843°
E152.226562°		 →
↑
1 429.46 m
↓
↑
1 429.46 m
↓
S 81.595699°
E152.138672°		 ← 1 428.39 m →
2 043 383 m²		 S 81.595699°
E152.226562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9227294921875 y=0.9154052734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9227294921875 × 212)
    floor (0.9227294921875 × 4096)
    floor (3779.5)     		tx = 3779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9154052734375 × 212)
    floor (0.9154052734375 × 4096)
    floor (3749.5)     		ty = 3749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3779 / 3749 ti = "12/3779/3749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3779/3749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3779 ÷ 212
    3779 ÷ 4096     		x = 0.922607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3749 ÷ 212
    3749 ÷ 4096     		y = 0.915283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.922607421875 × 2 - 1) × π
    0.84521484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.65532074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915283203125 × 2 - 1) × π
    -0.83056640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.6093013201189
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65532074} λ = 2.65532074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.6093013201189))-π/2
    2×atan(0.0735859388216064)-π/2
    2×0.073453548751746-π/2
    0.146907097503492-1.57079632675     		φ = -1.42388923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65532074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.138672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42388923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.582843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3779 KachelY 3749 2.65532074 -1.42388923 152.138672 -81.582843
    Oben rechts KachelX + 1 3780 KachelY 3749 2.65685472 -1.42388923 152.226562 -81.582843
    Unten links KachelX 3779 KachelY + 1 3750 2.65532074 -1.42411360 152.138672 -81.595699
    Unten rechts KachelX + 1 3780 KachelY + 1 3750 2.65685472 -1.42411360 152.226562 -81.595699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42388923--1.42411360) × R
    0.000224370000000196 × 6371000     		dl = 1429.46127000125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42388923--1.42411360) × R
    0.000224370000000196 × 6371000     		dr = 1429.46127000125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65532074-2.65685472) × cos(-1.42388923) × R
    0.00153398000000005 × 0.146379249347537 × 6371000     		do = 1430.56243946399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65532074-2.65685472) × cos(-1.42411360) × R
    0.00153398000000005 × 0.146157292456126 × 6371000     		du = 1428.3932577429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42388923)-sin(-1.42411360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146379249347537-0.146157292456126)×R²
    abs(2.65685472-2.65532074)×0.000221956891410857×R²
    0.00153398000000005×0.000221956891410857×6371000²
    0.00153398000000005×0.000221956891410857×40589641000000     		ar = 2043383.22947248m²