Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37789 / 28368
↖ ↑ ↗
← N 23.483401°
E 27.581177°		 ← 560.20 m → N 23.483401°
E 27.586670°		 →
↑
560.20 m
↓
↑
560.20 m
↓
N 23.478363°
E 27.581177°		 ← 560.22 m →
313 831 m²		 N 23.478363°
E 27.586670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576622009277344 y=0.432868957519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576622009277344 × 216)
    floor (0.576622009277344 × 65536)
    floor (37789.5)     		tx = 37789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432868957519531 × 216)
    floor (0.432868957519531 × 65536)
    floor (28368.5)     		ty = 28368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37789 / 28368 ti = "16/37789/28368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37789/28368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37789 ÷ 216
    37789 ÷ 65536     		x = 0.576614379882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28368 ÷ 216
    28368 ÷ 65536     		y = 0.432861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576614379882812 × 2 - 1) × π
    0.153228759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.48138235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432861328125 × 2 - 1) × π
    0.13427734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.421844716656494
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48138235} λ = 0.48138235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.421844716656494))-π/2
    2×atan(1.52477173464594)-π/2
    2×0.990329493883406-π/2
    1.98065898776681-1.57079632675     		φ = 0.40986266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48138235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.581177°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40986266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.483401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37789 KachelY 28368 0.48138235 0.40986266 27.581177 23.483401
    Oben rechts KachelX + 1 37790 KachelY 28368 0.48147822 0.40986266 27.586670 23.483401
    Unten links KachelX 37789 KachelY + 1 28369 0.48138235 0.40977473 27.581177 23.478363
    Unten rechts KachelX + 1 37790 KachelY + 1 28369 0.48147822 0.40977473 27.586670 23.478363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40986266-0.40977473) × R
    8.79300000000138e-05 × 6371000     		dl = 560.202030000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40986266-0.40977473) × R
    8.79300000000138e-05 × 6371000     		dr = 560.202030000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48138235-0.48147822) × cos(0.40986266) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.917175559172046 × 6371000     		do = 560.199614485184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48138235-0.48147822) × cos(0.40977473) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.917210594268791 × 6371000     		du = 560.221013493798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40986266)-sin(0.40977473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917175559172046-0.917210594268791)×R²
    abs(0.48147822-0.48138235)×3.50350967459612e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.50350967459612e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.50350967459612e-05×40589641000000     		ar = 313830.95532621m²