Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37789 / 28367
↖ ↑ ↗
← N 23.488439°
E 27.581177°		 ← 560.18 m → N 23.488439°
E 27.586670°		 →
↑
560.20 m
↓
↑
560.20 m
↓
N 23.483401°
E 27.581177°		 ← 560.20 m →
313 819 m²		 N 23.483401°
E 27.586670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576622009277344 y=0.432853698730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576622009277344 × 216)
    floor (0.576622009277344 × 65536)
    floor (37789.5)     		tx = 37789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432853698730469 × 216)
    floor (0.432853698730469 × 65536)
    floor (28367.5)     		ty = 28367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37789 / 28367 ti = "16/37789/28367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37789/28367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37789 ÷ 216
    37789 ÷ 65536     		x = 0.576614379882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28367 ÷ 216
    28367 ÷ 65536     		y = 0.432846069335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576614379882812 × 2 - 1) × π
    0.153228759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.48138235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432846069335938 × 2 - 1) × π
    0.134307861328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.421940590455734
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48138235} λ = 0.48138235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.421940590455734))-π/2
    2×atan(1.52491792731303)-π/2
    2×0.990373459596203-π/2
    1.98074691919241-1.57079632675     		φ = 0.40995059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48138235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.581177°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40995059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.488439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37789 KachelY 28367 0.48138235 0.40995059 27.581177 23.488439
    Oben rechts KachelX + 1 37790 KachelY 28367 0.48147822 0.40995059 27.586670 23.488439
    Unten links KachelX 37789 KachelY + 1 28368 0.48138235 0.40986266 27.581177 23.483401
    Unten rechts KachelX + 1 37790 KachelY + 1 28368 0.48147822 0.40986266 27.586670 23.483401
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40995059-0.40986266) × R
    8.79300000000138e-05 × 6371000     		dl = 560.202030000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40995059-0.40986266) × R
    8.79300000000138e-05 × 6371000     		dr = 560.202030000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48138235-0.48147822) × cos(0.40995059) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.917140516983987 × 6371000     		do = 560.178211145284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48138235-0.48147822) × cos(0.40986266) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.917175559172046 × 6371000     		du = 560.199614485184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40995059)-sin(0.40986266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917140516983987-0.917175559172046)×R²
    abs(0.48147822-0.48138235)×3.50421880582763e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.50421880582763e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.50421880582763e-05×40589641000000     		ar = 313818.966344716m²