Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37784 / 28438
↖ ↑ ↗
← N 23.130257°
E 27.553711°		 ← 561.69 m → N 23.130257°
E 27.559204°		 →
↑
561.67 m
↓
↑
561.67 m
↓
N 23.125206°
E 27.553711°		 ← 561.71 m →
315 488 m²		 N 23.125206°
E 27.559204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576545715332031 y=0.433937072753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576545715332031 × 216)
    floor (0.576545715332031 × 65536)
    floor (37784.5)     		tx = 37784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433937072753906 × 216)
    floor (0.433937072753906 × 65536)
    floor (28438.5)     		ty = 28438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37784 / 28438 ti = "16/37784/28438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37784/28438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37784 ÷ 216
    37784 ÷ 65536     		x = 0.5765380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28438 ÷ 216
    28438 ÷ 65536     		y = 0.433929443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5765380859375 × 2 - 1) × π
    0.153076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48090298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433929443359375 × 2 - 1) × π
    0.13214111328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.415133550709686
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48090298} λ = 0.48090298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.415133550709686))-π/2
    2×atan(1.5145729994848)-π/2
    2×0.987247735750195-π/2
    1.97449547150039-1.57079632675     		φ = 0.40369914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48090298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.553711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40369914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.130257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37784 KachelY 28438 0.48090298 0.40369914 27.553711 23.130257
    Oben rechts KachelX + 1 37785 KachelY 28438 0.48099885 0.40369914 27.559204 23.130257
    Unten links KachelX 37784 KachelY + 1 28439 0.48090298 0.40361098 27.553711 23.125206
    Unten rechts KachelX + 1 37785 KachelY + 1 28439 0.48099885 0.40361098 27.559204 23.125206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40369914-0.40361098) × R
    8.81600000000038e-05 × 6371000     		dl = 561.667360000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40369914-0.40361098) × R
    8.81600000000038e-05 × 6371000     		dr = 561.667360000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48090298-0.48099885) × cos(0.40369914) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.919614182596515 × 6371000     		do = 561.689095848486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48090298-0.48099885) × cos(0.40361098) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.919648810281145 × 6371000     		du = 561.710246014762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40369914)-sin(0.40361098))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.919614182596515-0.919648810281145)×R²
    abs(0.48099885-0.48090298)×3.46276846301397e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.46276846301397e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.46276846301397e-05×40589641000000     		ar = 315488.371489428m²