Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37783 / 27237
↖ ↑ ↗
← N 29.051368°
E 27.548218°		 ← 534 m → N 29.051368°
E 27.553711°		 →
↑
533.95 m
↓
↑
533.95 m
↓
N 29.046566°
E 27.548218°		 ← 534.02 m →
285 136 m²		 N 29.046566°
E 27.553711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27237 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576530456542969 y=0.415611267089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576530456542969 × 216)
    floor (0.576530456542969 × 65536)
    floor (37783.5)     		tx = 37783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415611267089844 × 216)
    floor (0.415611267089844 × 65536)
    floor (27237.5)     		ty = 27237
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37783 / 27237 ti = "16/37783/27237"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37783/27237.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37783 ÷ 216
    37783 ÷ 65536     		x = 0.576522827148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27237 ÷ 216
    27237 ÷ 65536     		y = 0.415603637695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576522827148438 × 2 - 1) × π
    0.153045654296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48080710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415603637695312 × 2 - 1) × π
    0.168792724609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.530277983597061
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48080710} λ = 0.48080710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.530277983597061))-π/2
    2×atan(1.69940464958134)-π/2
    2×1.03891917332738-π/2
    2.07783834665475-1.57079632675     		φ = 0.50704202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48080710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.548218°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50704202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.051368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37783 KachelY 27237 0.48080710 0.50704202 27.548218 29.051368
    Oben rechts KachelX + 1 37784 KachelY 27237 0.48090298 0.50704202 27.553711 29.051368
    Unten links KachelX 37783 KachelY + 1 27238 0.48080710 0.50695821 27.548218 29.046566
    Unten rechts KachelX + 1 37784 KachelY + 1 27238 0.48090298 0.50695821 27.553711 29.046566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50704202-0.50695821) × R
    8.38100000000175e-05 × 6371000     		dl = 533.953510000111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50704202-0.50695821) × R
    8.38100000000175e-05 × 6371000     		dr = 533.953510000111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48080710-0.48090298) × cos(0.50704202) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.87418470597289 × 6371000     		do = 533.997021436864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48080710-0.48090298) × cos(0.50695821) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.874225400498429 × 6371000     		du = 534.021879748017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50704202)-sin(0.50695821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87418470597289-0.874225400498429)×R²
    abs(0.48090298-0.48080710)×4.0694525539231e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.0694525539231e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.0694525539231e-05×40589641000000     		ar = 285136.220684076m²