Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37781 / 27242
↖ ↑ ↗
← N 29.027355°
E 27.537232°		 ← 534.07 m → N 29.027355°
E 27.542725°		 →
↑
534.08 m
↓
↑
534.08 m
↓
N 29.022551°
E 27.537232°		 ← 534.09 m →
285 241 m²		 N 29.022551°
E 27.542725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37781 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576499938964844 y=0.415687561035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576499938964844 × 216)
    floor (0.576499938964844 × 65536)
    floor (37781.5)     		tx = 37781
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415687561035156 × 216)
    floor (0.415687561035156 × 65536)
    floor (27242.5)     		ty = 27242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37781 / 27242 ti = "16/37781/27242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37781/27242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37781 ÷ 216
    37781 ÷ 65536     		x = 0.576492309570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27242 ÷ 216
    27242 ÷ 65536     		y = 0.415679931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576492309570312 × 2 - 1) × π
    0.152984619140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.48061536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415679931640625 × 2 - 1) × π
    0.16864013671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.529798614600861
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48061536} λ = 0.48061536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.529798614600861))-π/2
    2×atan(1.69859020290617)-π/2
    2×1.03870962042224-π/2
    2.07741924084447-1.57079632675     		φ = 0.50662291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48061536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.537232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50662291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.027355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37781 KachelY 27242 0.48061536 0.50662291 27.537232 29.027355
    Oben rechts KachelX + 1 37782 KachelY 27242 0.48071123 0.50662291 27.542725 29.027355
    Unten links KachelX 37781 KachelY + 1 27243 0.48061536 0.50653908 27.537232 29.022551
    Unten rechts KachelX + 1 37782 KachelY + 1 27243 0.48071123 0.50653908 27.542725 29.022551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50662291-0.50653908) × R
    8.3830000000007e-05 × 6371000     		dl = 534.080930000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50662291-0.50653908) × R
    8.3830000000007e-05 × 6371000     		dr = 534.080930000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48061536-0.48071123) × cos(0.50662291) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.874388146304751 × 6371000     		do = 534.065585995901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48061536-0.48071123) × cos(0.50653908) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.874428819822808 × 6371000     		du = 534.090428883293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50662291)-sin(0.50653908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874388146304751-0.874428819822808)×R²
    abs(0.48071123-0.48061536)×4.06735180578099e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.06735180578099e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.06735180578099e-05×40589641000000     		ar = 285240.879072873m²