Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3778 / 5339
↖ ↑ ↗
← S 47.842658°
W 13.974610°		 ← 3 279.70 m → S 47.842658°
W 13.930664°		 →
↑
3 278.71 m
↓
↑
3 278.71 m
↓
S 47.872144°
W 13.974610°		 ← 3 277.84 m →
10 750 137 m²		 S 47.872144°
W 13.930664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46124267578125 y=0.65179443359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46124267578125 × 213)
    floor (0.46124267578125 × 8192)
    floor (3778.5)     		tx = 3778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.65179443359375 × 213)
    floor (0.65179443359375 × 8192)
    floor (5339.5)     		ty = 5339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3778 / 5339 ti = "13/3778/5339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3778/5339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3778 ÷ 213
    3778 ÷ 8192     		x = 0.461181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5339 ÷ 213
    5339 ÷ 8192     		y = 0.6517333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461181640625 × 2 - 1) × π
    -0.07763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24390295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6517333984375 × 2 - 1) × π
    -0.303466796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.953369059643677
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24390295} λ = -0.24390295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.953369059643677))-π/2
    2×atan(0.385440262281178)-π/2
    2×0.367892214148659-π/2
    0.735784428297319-1.57079632675     		φ = -0.83501190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24390295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.974610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83501190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.842658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3778 KachelY 5339 -0.24390295 -0.83501190 -13.974610 -47.842658
    Oben rechts KachelX + 1 3779 KachelY 5339 -0.24313595 -0.83501190 -13.930664 -47.842658
    Unten links KachelX 3778 KachelY + 1 5340 -0.24390295 -0.83552653 -13.974610 -47.872144
    Unten rechts KachelX + 1 3779 KachelY + 1 5340 -0.24313595 -0.83552653 -13.930664 -47.872144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83501190--0.83552653) × R
    0.00051462999999996 × 6371000     		dl = 3278.70772999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83501190--0.83552653) × R
    0.00051462999999996 × 6371000     		dr = 3278.70772999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24390295--0.24313595) × cos(-0.83501190) × R
    0.000767000000000018 × 0.67116886118383 × 6371000     		do = 3279.70489679995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24390295--0.24313595) × cos(-0.83552653) × R
    0.000767000000000018 × 0.670787274788976 × 6371000     		du = 3277.84025313107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83501190)-sin(-0.83552653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67116886118383-0.670787274788976)×R²
    abs(-0.24313595--0.24390295)×0.000381586394854416×R²
    0.000767000000000018×0.000381586394854416×6371000²
    0.000767000000000018×0.000381586394854416×40589641000000     		ar = 10750137.2237104m²