Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3778 / 2539
↖ ↑ ↗
← N 56.292157°
W 13.974610°		 ← 2 711.84 m → N 56.292157°
W 13.930664°		 →
↑
2 712.71 m
↓
↑
2 712.71 m
↓
N 56.267761°
W 13.974610°		 ← 2 713.57 m →
7 358 765 m²		 N 56.267761°
W 13.930664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46124267578125 y=0.30999755859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46124267578125 × 213)
    floor (0.46124267578125 × 8192)
    floor (3778.5)     		tx = 3778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.30999755859375 × 213)
    floor (0.30999755859375 × 8192)
    floor (2539.5)     		ty = 2539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3778 / 2539 ti = "13/3778/2539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3778/2539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3778 ÷ 213
    3778 ÷ 8192     		x = 0.461181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2539 ÷ 213
    2539 ÷ 8192     		y = 0.3099365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461181640625 × 2 - 1) × π
    -0.07763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24390295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3099365234375 × 2 - 1) × π
    0.380126953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.19420404333484
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24390295} λ = -0.24390295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19420404333484))-π/2
    2×atan(3.30092932787748)-π/2
    2×1.27663990198954-π/2
    2.55327980397908-1.57079632675     		φ = 0.98248348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24390295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.974610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98248348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.292157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3778 KachelY 2539 -0.24390295 0.98248348 -13.974610 56.292157
    Oben rechts KachelX + 1 3779 KachelY 2539 -0.24313595 0.98248348 -13.930664 56.292157
    Unten links KachelX 3778 KachelY + 1 2540 -0.24390295 0.98205769 -13.974610 56.267761
    Unten rechts KachelX + 1 3779 KachelY + 1 2540 -0.24313595 0.98205769 -13.930664 56.267761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98248348-0.98205769) × R
    0.000425789999999981 × 6371000     		dl = 2712.70808999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98248348-0.98205769) × R
    0.000425789999999981 × 6371000     		dr = 2712.70808999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24390295--0.24313595) × cos(0.98248348) × R
    0.000767000000000018 × 0.554958307511156 × 6371000     		do = 2711.83540227685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24390295--0.24313595) × cos(0.98205769) × R
    0.000767000000000018 × 0.55531246259701 × 6371000     		du = 2713.56600129072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98248348)-sin(0.98205769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554958307511156-0.55531246259701)×R²
    abs(-0.24313595--0.24390295)×0.000354155085854346×R²
    0.000767000000000018×0.000354155085854346×6371000²
    0.000767000000000018×0.000354155085854346×40589641000000     		ar = 7358765.25065098m²