Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37777 / 28432
↖ ↑ ↗
← N 23.160564°
E 27.515259°		 ← 561.56 m → N 23.160564°
E 27.520752°		 →
↑
561.60 m
↓
↑
561.60 m
↓
N 23.155513°
E 27.515259°		 ← 561.58 m →
315 381 m²		 N 23.155513°
E 27.520752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576438903808594 y=0.433845520019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576438903808594 × 216)
    floor (0.576438903808594 × 65536)
    floor (37777.5)     		tx = 37777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433845520019531 × 216)
    floor (0.433845520019531 × 65536)
    floor (28432.5)     		ty = 28432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37777 / 28432 ti = "16/37777/28432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37777/28432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37777 ÷ 216
    37777 ÷ 65536     		x = 0.576431274414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28432 ÷ 216
    28432 ÷ 65536     		y = 0.433837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576431274414062 × 2 - 1) × π
    0.152862548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.48023186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433837890625 × 2 - 1) × π
    0.13232421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.415708793505127
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48023186} λ = 0.48023186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.415708793505127))-π/2
    2×atan(1.51544449732832)-π/2
    2×0.987512206571729-π/2
    1.97502441314346-1.57079632675     		φ = 0.40422809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48023186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.515259°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40422809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.160564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37777 KachelY 28432 0.48023186 0.40422809 27.515259 23.160564
    Oben rechts KachelX + 1 37778 KachelY 28432 0.48032773 0.40422809 27.520752 23.160564
    Unten links KachelX 37777 KachelY + 1 28433 0.48023186 0.40413994 27.515259 23.155513
    Unten rechts KachelX + 1 37778 KachelY + 1 28433 0.48032773 0.40413994 27.520752 23.155513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40422809-0.40413994) × R
    8.81500000000091e-05 × 6371000     		dl = 561.603650000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40422809-0.40413994) × R
    8.81500000000091e-05 × 6371000     		dr = 561.603650000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48023186-0.48032773) × cos(0.40422809) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.919406270335596 × 6371000     		do = 561.562105582284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48023186-0.48032773) × cos(0.40413994) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.919440936967568 × 6371000     		du = 561.583279537119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40422809)-sin(0.40413994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.919406270335596-0.919440936967568)×R²
    abs(0.48032773-0.48023186)×3.46666319719358e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.46666319719358e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.46666319719358e-05×40589641000000     		ar = 315381.274086161m²