Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37776 / 30384
↖ ↑ ↗
← N 12.983147°
E 27.509766°		 ← 595.17 m → N 12.983147°
E 27.515259°		 →
↑
595.18 m
↓
↑
595.18 m
↓
N 12.977795°
E 27.509766°		 ← 595.19 m →
354 239 m²		 N 12.977795°
E 27.515259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576423645019531 y=0.463630676269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576423645019531 × 216)
    floor (0.576423645019531 × 65536)
    floor (37776.5)     		tx = 37776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463630676269531 × 216)
    floor (0.463630676269531 × 65536)
    floor (30384.5)     		ty = 30384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37776 / 30384 ti = "16/37776/30384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37776/30384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37776 ÷ 216
    37776 ÷ 65536     		x = 0.576416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30384 ÷ 216
    30384 ÷ 65536     		y = 0.463623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576416015625 × 2 - 1) × π
    0.15283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.48013599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463623046875 × 2 - 1) × π
    0.07275390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.228563137388428
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48013599} λ = 0.48013599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.228563137388428))-π/2
    2×atan(1.25679287324677)-π/2
    2×0.898697500859708-π/2
    1.79739500171942-1.57079632675     		φ = 0.22659867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48013599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.509766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22659867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.983147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37776 KachelY 30384 0.48013599 0.22659867 27.509766 12.983147
    Oben rechts KachelX + 1 37777 KachelY 30384 0.48023186 0.22659867 27.515259 12.983147
    Unten links KachelX 37776 KachelY + 1 30385 0.48013599 0.22650525 27.509766 12.977795
    Unten rechts KachelX + 1 37777 KachelY + 1 30385 0.48023186 0.22650525 27.515259 12.977795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22659867-0.22650525) × R
    9.34200000000107e-05 × 6371000     		dl = 595.178820000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22659867-0.22650525) × R
    9.34200000000107e-05 × 6371000     		dr = 595.178820000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48013599-0.48023186) × cos(0.22659867) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.97443618811023 × 6371000     		do = 595.173706343135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48013599-0.48023186) × cos(0.22650525) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.974457172011065 × 6371000     		du = 595.186523053132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22659867)-sin(0.22650525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97443618811023-0.974457172011065)×R²
    abs(0.48023186-0.48013599)×2.09839008349366e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.09839008349366e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.09839008349366e-05×40589641000000     		ar = 354238.598611159m²