Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37776 / 28412
↖ ↑ ↗
← N 23.261534°
E 27.509766°		 ← 561.14 m → N 23.261534°
E 27.515259°		 →
↑
561.16 m
↓
↑
561.16 m
↓
N 23.256488°
E 27.509766°		 ← 561.16 m →
314 893 m²		 N 23.256488°
E 27.515259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576423645019531 y=0.433540344238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576423645019531 × 216)
    floor (0.576423645019531 × 65536)
    floor (37776.5)     		tx = 37776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433540344238281 × 216)
    floor (0.433540344238281 × 65536)
    floor (28412.5)     		ty = 28412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37776 / 28412 ti = "16/37776/28412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37776/28412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37776 ÷ 216
    37776 ÷ 65536     		x = 0.576416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28412 ÷ 216
    28412 ÷ 65536     		y = 0.43353271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576416015625 × 2 - 1) × π
    0.15283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.48013599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43353271484375 × 2 - 1) × π
    0.1329345703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.417626269489929
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48013599} λ = 0.48013599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.417626269489929))-π/2
    2×atan(1.51835311346786)-π/2
    2×0.988393343537307-π/2
    1.97678668707461-1.57079632675     		φ = 0.40599036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48013599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.509766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40599036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.261534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37776 KachelY 28412 0.48013599 0.40599036 27.509766 23.261534
    Oben rechts KachelX + 1 37777 KachelY 28412 0.48023186 0.40599036 27.515259 23.261534
    Unten links KachelX 37776 KachelY + 1 28413 0.48013599 0.40590228 27.509766 23.256488
    Unten rechts KachelX + 1 37777 KachelY + 1 28413 0.48023186 0.40590228 27.515259 23.256488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40599036-0.40590228) × R
    8.80799999999904e-05 × 6371000     		dl = 561.157679999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40599036-0.40590228) × R
    8.80799999999904e-05 × 6371000     		dr = 561.157679999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48013599-0.48023186) × cos(0.40599036) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.918711726076322 × 6371000     		do = 561.137886442995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48013599-0.48023186) × cos(0.40590228) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.918746507842073 × 6371000     		du = 561.159130720135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40599036)-sin(0.40590228))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.918711726076322-0.918746507842073)×R²
    abs(0.48023186-0.48013599)×3.47817657506688e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.47817657506688e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.47817657506688e-05×40589641000000     		ar = 314892.795414456m²