Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37776 / 27793
↖ ↑ ↗
← N 26.347575°
E 27.509766°		 ← 547.34 m → N 26.347575°
E 27.515259°		 →
↑
547.33 m
↓
↑
547.33 m
↓
N 26.342653°
E 27.509766°		 ← 547.36 m →
299 582 m²		 N 26.342653°
E 27.515259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576423645019531 y=0.424095153808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576423645019531 × 216)
    floor (0.576423645019531 × 65536)
    floor (37776.5)     		tx = 37776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424095153808594 × 216)
    floor (0.424095153808594 × 65536)
    floor (27793.5)     		ty = 27793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37776 / 27793 ti = "16/37776/27793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37776/27793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37776 ÷ 216
    37776 ÷ 65536     		x = 0.576416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27793 ÷ 216
    27793 ÷ 65536     		y = 0.424087524414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576416015625 × 2 - 1) × π
    0.15283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.48013599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424087524414062 × 2 - 1) × π
    0.151824951171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.476972151219559
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48013599} λ = 0.48013599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.476972151219559))-π/2
    2×atan(1.61118857379261)-π/2
    2×1.015324134051-π/2
    2.030648268102-1.57079632675     		φ = 0.45985194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48013599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.509766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45985194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.347575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37776 KachelY 27793 0.48013599 0.45985194 27.509766 26.347575
    Oben rechts KachelX + 1 37777 KachelY 27793 0.48023186 0.45985194 27.515259 26.347575
    Unten links KachelX 37776 KachelY + 1 27794 0.48013599 0.45976603 27.509766 26.342653
    Unten rechts KachelX + 1 37777 KachelY + 1 27794 0.48023186 0.45976603 27.515259 26.342653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45985194-0.45976603) × R
    8.59100000000224e-05 × 6371000     		dl = 547.332610000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45985194-0.45976603) × R
    8.59100000000224e-05 × 6371000     		dr = 547.332610000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48013599-0.48023186) × cos(0.45985194) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.896118218660477 × 6371000     		do = 547.338048431993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48013599-0.48023186) × cos(0.45976603) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.896156343537329 × 6371000     		du = 547.361334640507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45985194)-sin(0.45976603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896118218660477-0.896156343537329)×R²
    abs(0.48023186-0.48013599)×3.81248768520637e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.81248768520637e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.81248768520637e-05×40589641000000     		ar = 299582.335435494m²