Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37775 / 28934
↖ ↑ ↗
← N 20.601936°
E 27.504272°		 ← 571.79 m → N 20.601936°
E 27.509766°		 →
↑
571.80 m
↓
↑
571.80 m
↓
N 20.596794°
E 27.504272°		 ← 571.81 m →
326 951 m²		 N 20.596794°
E 27.509766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28934 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576408386230469 y=0.441505432128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576408386230469 × 216)
    floor (0.576408386230469 × 65536)
    floor (37775.5)     		tx = 37775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441505432128906 × 216)
    floor (0.441505432128906 × 65536)
    floor (28934.5)     		ty = 28934
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37775 / 28934 ti = "16/37775/28934"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37775/28934.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37775 ÷ 216
    37775 ÷ 65536     		x = 0.576400756835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28934 ÷ 216
    28934 ÷ 65536     		y = 0.441497802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576400756835938 × 2 - 1) × π
    0.152801513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48004011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441497802734375 × 2 - 1) × π
    0.11700439453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.367580146286591
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48004011} λ = 0.48004011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.367580146286591))-π/2
    2×atan(1.44423554400702)-π/2
    2×0.965183972830528-π/2
    1.93036794566106-1.57079632675     		φ = 0.35957162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48004011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.504272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35957162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.601936°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37775 KachelY 28934 0.48004011 0.35957162 27.504272 20.601936
    Oben rechts KachelX + 1 37776 KachelY 28934 0.48013599 0.35957162 27.509766 20.601936
    Unten links KachelX 37775 KachelY + 1 28935 0.48004011 0.35948187 27.504272 20.596794
    Unten rechts KachelX + 1 37776 KachelY + 1 28935 0.48013599 0.35948187 27.509766 20.596794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35957162-0.35948187) × R
    8.97499999999996e-05 × 6371000     		dl = 571.797249999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35957162-0.35948187) × R
    8.97499999999996e-05 × 6371000     		dr = 571.797249999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48004011-0.48013599) × cos(0.35957162) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.936047645036427 × 6371000     		do = 571.786089320972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48004011-0.48013599) × cos(0.35948187) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.936079221893437 × 6371000     		du = 571.80537809081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35957162)-sin(0.35948187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936047645036427-0.936079221893437)×R²
    abs(0.48013599-0.48004011)×3.15768570096076e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.15768570096076e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.15768570096076e-05×40589641000000     		ar = 326951.228314238m²