Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37775 / 27281
↖ ↑ ↗
← N 28.839862°
E 27.504272°		 ← 535.09 m → N 28.839862°
E 27.509766°		 →
↑
535.10 m
↓
↑
535.10 m
↓
N 28.835050°
E 27.504272°		 ← 535.11 m →
286 333 m²		 N 28.835050°
E 27.509766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576408386230469 y=0.416282653808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576408386230469 × 216)
    floor (0.576408386230469 × 65536)
    floor (37775.5)     		tx = 37775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416282653808594 × 216)
    floor (0.416282653808594 × 65536)
    floor (27281.5)     		ty = 27281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37775 / 27281 ti = "16/37775/27281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37775/27281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37775 ÷ 216
    37775 ÷ 65536     		x = 0.576400756835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27281 ÷ 216
    27281 ÷ 65536     		y = 0.416275024414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576400756835938 × 2 - 1) × π
    0.152801513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48004011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416275024414062 × 2 - 1) × π
    0.167449951171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.526059536430496
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48004011} λ = 0.48004011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.526059536430496))-π/2
    2×atan(1.69225090031771)-π/2
    2×1.03707343670993-π/2
    2.07414687341986-1.57079632675     		φ = 0.50335055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48004011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.504272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50335055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.839862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37775 KachelY 27281 0.48004011 0.50335055 27.504272 28.839862
    Oben rechts KachelX + 1 37776 KachelY 27281 0.48013599 0.50335055 27.509766 28.839862
    Unten links KachelX 37775 KachelY + 1 27282 0.48004011 0.50326656 27.504272 28.835050
    Unten rechts KachelX + 1 37776 KachelY + 1 27282 0.48013599 0.50326656 27.509766 28.835050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50335055-0.50326656) × R
    8.39899999999227e-05 × 6371000     		dl = 535.100289999508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50335055-0.50326656) × R
    8.39899999999227e-05 × 6371000     		dr = 535.100289999508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48004011-0.48013599) × cos(0.50335055) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.87597129970989 × 6371000     		do = 535.088364865269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48004011-0.48013599) × cos(0.50326656) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.876011810307529 × 6371000     		du = 535.113110823792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50335055)-sin(0.50326656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87597129970989-0.876011810307529)×R²
    abs(0.48013599-0.48004011)×4.05105976380993e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.05105976380993e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.05105976380993e-05×40589641000000     		ar = 286332.560167841m²