Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37773 / 28883
↖ ↑ ↗
← N 20.863945°
E 27.493286°		 ← 570.74 m → N 20.863945°
E 27.498779°		 →
↑
570.78 m
↓
↑
570.78 m
↓
N 20.858812°
E 27.493286°		 ← 570.76 m →
325 770 m²		 N 20.858812°
E 27.498779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576377868652344 y=0.440727233886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576377868652344 × 216)
    floor (0.576377868652344 × 65536)
    floor (37773.5)     		tx = 37773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440727233886719 × 216)
    floor (0.440727233886719 × 65536)
    floor (28883.5)     		ty = 28883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37773 / 28883 ti = "16/37773/28883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37773/28883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37773 ÷ 216
    37773 ÷ 65536     		x = 0.576370239257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28883 ÷ 216
    28883 ÷ 65536     		y = 0.440719604492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576370239257812 × 2 - 1) × π
    0.152740478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47984837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440719604492188 × 2 - 1) × π
    0.118560791015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.372469710047836
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47984837} λ = 0.47984837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.372469710047836))-π/2
    2×atan(1.45131451823004)-π/2
    2×0.967470429677926-π/2
    1.93494085935585-1.57079632675     		φ = 0.36414453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47984837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.493286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36414453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.863945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37773 KachelY 28883 0.47984837 0.36414453 27.493286 20.863945
    Oben rechts KachelX + 1 37774 KachelY 28883 0.47994424 0.36414453 27.498779 20.863945
    Unten links KachelX 37773 KachelY + 1 28884 0.47984837 0.36405494 27.493286 20.858812
    Unten rechts KachelX + 1 37774 KachelY + 1 28884 0.47994424 0.36405494 27.498779 20.858812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36414453-0.36405494) × R
    8.95900000000283e-05 × 6371000     		dl = 570.77789000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36414453-0.36405494) × R
    8.95900000000283e-05 × 6371000     		dr = 570.77789000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47984837-0.47994424) × cos(0.36414453) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.934428778731003 × 6371000     		do = 570.73766998492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47984837-0.47994424) × cos(0.36405494) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.934460682463825 × 6371000     		du = 570.757156394745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36414453)-sin(0.36405494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934428778731003-0.934460682463825)×R²
    abs(0.47994424-0.47984837)×3.19037328222471e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.19037328222471e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.19037328222471e-05×40589641000000     		ar = 325770.004441491m²