Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37772 / 28940
↖ ↑ ↗
← N 20.571082°
E 27.487793°		 ← 571.90 m → N 20.571082°
E 27.493286°		 →
↑
571.86 m
↓
↑
571.86 m
↓
N 20.565939°
E 27.487793°		 ← 571.92 m →
327 054 m²		 N 20.565939°
E 27.493286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576362609863281 y=0.441596984863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576362609863281 × 216)
    floor (0.576362609863281 × 65536)
    floor (37772.5)     		tx = 37772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441596984863281 × 216)
    floor (0.441596984863281 × 65536)
    floor (28940.5)     		ty = 28940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37772 / 28940 ti = "16/37772/28940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37772/28940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37772 ÷ 216
    37772 ÷ 65536     		x = 0.57635498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28940 ÷ 216
    28940 ÷ 65536     		y = 0.44158935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57635498046875 × 2 - 1) × π
    0.1527099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47975249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44158935546875 × 2 - 1) × π
    0.1168212890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.36700490349115
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47975249} λ = 0.47975249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.36700490349115))-π/2
    2×atan(1.44340499682145)-π/2
    2×0.964914718262092-π/2
    1.92982943652418-1.57079632675     		φ = 0.35903311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47975249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.487793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35903311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.571082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37772 KachelY 28940 0.47975249 0.35903311 27.487793 20.571082
    Oben rechts KachelX + 1 37773 KachelY 28940 0.47984837 0.35903311 27.493286 20.571082
    Unten links KachelX 37772 KachelY + 1 28941 0.47975249 0.35894335 27.487793 20.565939
    Unten rechts KachelX + 1 37773 KachelY + 1 28941 0.47984837 0.35894335 27.493286 20.565939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35903311-0.35894335) × R
    8.97599999999943e-05 × 6371000     		dl = 571.860959999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35903311-0.35894335) × R
    8.97599999999943e-05 × 6371000     		dr = 571.860959999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47975249-0.47984837) × cos(0.35903311) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.936236996584442 × 6371000     		do = 571.901754994649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47975249-0.47984837) × cos(0.35894335) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.93626853170859 × 6371000     		du = 571.921018271906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35903311)-sin(0.35894335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936236996584442-0.93626853170859)×R²
    abs(0.47984837-0.47975249)×3.15351241476636e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.15351241476636e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.15351241476636e-05×40589641000000     		ar = 327053.794814572m²