Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3777 / 3747
↖ ↑ ↗
← S 81.557073°
E151.962891°		 ← 1 434.91 m → S 81.557073°
E152.050781°		 →
↑
1 433.86 m
↓
↑
1 433.86 m
↓
S 81.569968°
E151.962891°		 ← 1 432.73 m →
2 055 897 m²		 S 81.569968°
E152.050781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9222412109375 y=0.9149169921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9222412109375 × 212)
    floor (0.9222412109375 × 4096)
    floor (3777.5)     		tx = 3777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9149169921875 × 212)
    floor (0.9149169921875 × 4096)
    floor (3747.5)     		ty = 3747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3777 / 3747 ti = "12/3777/3747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3777/3747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3777 ÷ 212
    3777 ÷ 4096     		x = 0.922119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3747 ÷ 212
    3747 ÷ 4096     		y = 0.914794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.922119140625 × 2 - 1) × π
    0.84423828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.65225278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914794921875 × 2 - 1) × π
    -0.82958984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.60623335854321
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65225278} λ = 2.65225278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60623335854321))-π/2
    2×atan(0.0738120443185607)-π/2
    2×0.0736784327808579-π/2
    0.147356865561716-1.57079632675     		φ = -1.42343946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65225278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.962891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42343946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.557073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3777 KachelY 3747 2.65225278 -1.42343946 151.962891 -81.557073
    Oben rechts KachelX + 1 3778 KachelY 3747 2.65378676 -1.42343946 152.050781 -81.557073
    Unten links KachelX 3777 KachelY + 1 3748 2.65225278 -1.42366452 151.962891 -81.569968
    Unten rechts KachelX + 1 3778 KachelY + 1 3748 2.65378676 -1.42366452 152.050781 -81.569968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42343946--1.42366452) × R
    0.000225059999999999 × 6371000     		dl = 1433.85725999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42343946--1.42366452) × R
    0.000225059999999999 × 6371000     		dr = 1433.85725999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65225278-2.65378676) × cos(-1.42343946) × R
    0.00153398000000005 × 0.146824159849722 × 6371000     		do = 1434.91054383115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65225278-2.65378676) × cos(-1.42366452) × R
    0.00153398000000005 × 0.14660153519646 × 6371000     		du = 1432.73483608245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42343946)-sin(-1.42366452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146824159849722-0.14660153519646)×R²
    abs(2.65378676-2.65225278)×0.000222624653261949×R²
    0.00153398000000005×0.000222624653261949×6371000²
    0.00153398000000005×0.000222624653261949×40589641000000     		ar = 2055897.08222262m²