Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37769 / 30332
↖ ↑ ↗
← N 13.261333°
E 27.471313°		 ← 594.50 m → N 13.261333°
E 27.476806°		 →
↑
594.54 m
↓
↑
594.54 m
↓
N 13.255986°
E 27.471313°		 ← 594.51 m →
353 459 m²		 N 13.255986°
E 27.476806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576316833496094 y=0.462837219238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576316833496094 × 216)
    floor (0.576316833496094 × 65536)
    floor (37769.5)     		tx = 37769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462837219238281 × 216)
    floor (0.462837219238281 × 65536)
    floor (30332.5)     		ty = 30332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37769 / 30332 ti = "16/37769/30332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37769/30332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37769 ÷ 216
    37769 ÷ 65536     		x = 0.576309204101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30332 ÷ 216
    30332 ÷ 65536     		y = 0.46282958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576309204101562 × 2 - 1) × π
    0.152618408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.47946487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46282958984375 × 2 - 1) × π
    0.0743408203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.233548574948914
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47946487} λ = 0.47946487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.233548574948914))-π/2
    2×atan(1.26307418016458)-π/2
    2×0.901125126911384-π/2
    1.80225025382277-1.57079632675     		φ = 0.23145393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47946487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.471313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23145393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.261333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37769 KachelY 30332 0.47946487 0.23145393 27.471313 13.261333
    Oben rechts KachelX + 1 37770 KachelY 30332 0.47956074 0.23145393 27.476806 13.261333
    Unten links KachelX 37769 KachelY + 1 30333 0.47946487 0.23136061 27.471313 13.255986
    Unten rechts KachelX + 1 37770 KachelY + 1 30333 0.47956074 0.23136061 27.476806 13.255986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23145393-0.23136061) × R
    9.33200000000078e-05 × 6371000     		dl = 594.54172000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23145393-0.23136061) × R
    9.33200000000078e-05 × 6371000     		dr = 594.54172000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47946487-0.47956074) × cos(0.23145393) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.973333902638789 × 6371000     		do = 594.50044385813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47946487-0.47956074) × cos(0.23136061) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.973355305348306 × 6371000     		du = 594.513516371348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23145393)-sin(0.23136061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.973333902638789-0.973355305348306)×R²
    abs(0.47956074-0.47946487)×2.14027095177816e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.14027095177816e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.14027095177816e-05×40589641000000     		ar = 353459.20276598m²