Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37768 / 28953
↖ ↑ ↗
← N 20.504210°
E 27.465821°		 ← 572.09 m → N 20.504210°
E 27.471313°		 →
↑
572.12 m
↓
↑
572.12 m
↓
N 20.499065°
E 27.465821°		 ← 572.11 m →
327 308 m²		 N 20.499065°
E 27.471313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28953 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576301574707031 y=0.441795349121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576301574707031 × 216)
    floor (0.576301574707031 × 65536)
    floor (37768.5)     		tx = 37768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441795349121094 × 216)
    floor (0.441795349121094 × 65536)
    floor (28953.5)     		ty = 28953
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37768 / 28953 ti = "16/37768/28953"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37768/28953.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37768 ÷ 216
    37768 ÷ 65536     		x = 0.5762939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28953 ÷ 216
    28953 ÷ 65536     		y = 0.441787719726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5762939453125 × 2 - 1) × π
    0.152587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47936900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441787719726562 × 2 - 1) × π
    0.116424560546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.365758544101028
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47936900} λ = 0.47936900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.365758544101028))-π/2
    2×atan(1.44160711608542)-π/2
    2×0.964331146735376-π/2
    1.92866229347075-1.57079632675     		φ = 0.35786597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47936900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.465821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35786597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.504210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37768 KachelY 28953 0.47936900 0.35786597 27.465821 20.504210
    Oben rechts KachelX + 1 37769 KachelY 28953 0.47946487 0.35786597 27.471313 20.504210
    Unten links KachelX 37768 KachelY + 1 28954 0.47936900 0.35777617 27.465821 20.499065
    Unten rechts KachelX + 1 37769 KachelY + 1 28954 0.47946487 0.35777617 27.471313 20.499065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35786597-0.35777617) × R
    8.97999999999732e-05 × 6371000     		dl = 572.11579999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35786597-0.35777617) × R
    8.97999999999732e-05 × 6371000     		dr = 572.11579999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47936900-0.47946487) × cos(0.35786597) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.936646455813786 × 6371000     		do = 572.092200024894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47936900-0.47946487) × cos(0.35777617) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.936677906839994 × 6371000     		du = 572.111409927055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35786597)-sin(0.35777617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936646455813786-0.936677906839994)×R²
    abs(0.47946487-0.47936900)×3.14510262077183e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.14510262077183e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.14510262077183e-05×40589641000000     		ar = 327308.482055205m²