Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37768 / 28888
↖ ↑ ↗
← N 20.838278°
E 27.465821°		 ← 570.84 m → N 20.838278°
E 27.471313°		 →
↑
570.91 m
↓
↑
570.91 m
↓
N 20.833144°
E 27.465821°		 ← 570.85 m →
325 898 m²		 N 20.833144°
E 27.471313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576301574707031 y=0.440803527832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576301574707031 × 216)
    floor (0.576301574707031 × 65536)
    floor (37768.5)     		tx = 37768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440803527832031 × 216)
    floor (0.440803527832031 × 65536)
    floor (28888.5)     		ty = 28888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37768 / 28888 ti = "16/37768/28888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37768/28888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37768 ÷ 216
    37768 ÷ 65536     		x = 0.5762939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28888 ÷ 216
    28888 ÷ 65536     		y = 0.4407958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5762939453125 × 2 - 1) × π
    0.152587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47936900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4407958984375 × 2 - 1) × π
    0.118408203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.371990341051636
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47936900} λ = 0.47936900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.371990341051636))-π/2
    2×atan(1.45061896977177)-π/2
    2×0.967246442472974-π/2
    1.93449288494595-1.57079632675     		φ = 0.36369656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47936900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.465821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36369656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.838278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37768 KachelY 28888 0.47936900 0.36369656 27.465821 20.838278
    Oben rechts KachelX + 1 37769 KachelY 28888 0.47946487 0.36369656 27.471313 20.838278
    Unten links KachelX 37768 KachelY + 1 28889 0.47936900 0.36360695 27.465821 20.833144
    Unten rechts KachelX + 1 37769 KachelY + 1 28889 0.47946487 0.36360695 27.471313 20.833144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36369656-0.36360695) × R
    8.96100000000177e-05 × 6371000     		dl = 570.905310000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36369656-0.36360695) × R
    8.96100000000177e-05 × 6371000     		dr = 570.905310000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47936900-0.47946487) × cos(0.36369656) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.934588229503929 × 6371000     		do = 570.83506056694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47936900-0.47946487) × cos(0.36360695) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.934620102843843 × 6371000     		du = 570.854528413149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36369656)-sin(0.36360695))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934588229503929-0.934620102843843)×R²
    abs(0.47946487-0.47936900)×3.1873339914501e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.1873339914501e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.1873339914501e-05×40589641000000     		ar = 325898.324578438m²