Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37768 / 27272
↖ ↑ ↗
← N 28.883159°
E 27.465821°		 ← 534.81 m → N 28.883159°
E 27.471313°		 →
↑
534.85 m
↓
↑
534.85 m
↓
N 28.878349°
E 27.465821°		 ← 534.83 m →
286 047 m²		 N 28.878349°
E 27.471313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576301574707031 y=0.416145324707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576301574707031 × 216)
    floor (0.576301574707031 × 65536)
    floor (37768.5)     		tx = 37768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416145324707031 × 216)
    floor (0.416145324707031 × 65536)
    floor (27272.5)     		ty = 27272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37768 / 27272 ti = "16/37768/27272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37768/27272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37768 ÷ 216
    37768 ÷ 65536     		x = 0.5762939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27272 ÷ 216
    27272 ÷ 65536     		y = 0.4161376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5762939453125 × 2 - 1) × π
    0.152587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47936900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4161376953125 × 2 - 1) × π
    0.167724609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.526922400623657
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47936900} λ = 0.47936900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.526922400623657))-π/2
    2×atan(1.69371171317636)-π/2
    2×1.03745128017172-π/2
    2.07490256034344-1.57079632675     		φ = 0.50410623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47936900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.465821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50410623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.883159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37768 KachelY 27272 0.47936900 0.50410623 27.465821 28.883159
    Oben rechts KachelX + 1 37769 KachelY 27272 0.47946487 0.50410623 27.471313 28.883159
    Unten links KachelX 37768 KachelY + 1 27273 0.47936900 0.50402228 27.465821 28.878349
    Unten rechts KachelX + 1 37769 KachelY + 1 27273 0.47946487 0.50402228 27.471313 28.878349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50410623-0.50402228) × R
    8.39499999999438e-05 × 6371000     		dl = 534.845449999642m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50410623-0.50402228) × R
    8.39499999999438e-05 × 6371000     		dr = 534.845449999642m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47936900-0.47946487) × cos(0.50410623) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.87560653738905 × 6371000     		do = 534.809764369268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47936900-0.47946487) × cos(0.50402228) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.875647084255856 × 6371000     		du = 534.834529899625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50410623)-sin(0.50402228))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87560653738905-0.875647084255856)×R²
    abs(0.47946487-0.47936900)×4.05468668067677e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.05468668067677e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.05468668067677e-05×40589641000000     		ar = 286047.192122021m²