Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37767 / 28887
↖ ↑ ↗
← N 20.843412°
E 27.460327°		 ← 570.88 m → N 20.843412°
E 27.465821°		 →
↑
570.84 m
↓
↑
570.84 m
↓
N 20.838278°
E 27.460327°		 ← 570.89 m →
325 885 m²		 N 20.838278°
E 27.465821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576286315917969 y=0.440788269042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576286315917969 × 216)
    floor (0.576286315917969 × 65536)
    floor (37767.5)     		tx = 37767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440788269042969 × 216)
    floor (0.440788269042969 × 65536)
    floor (28887.5)     		ty = 28887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37767 / 28887 ti = "16/37767/28887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37767/28887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37767 ÷ 216
    37767 ÷ 65536     		x = 0.576278686523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28887 ÷ 216
    28887 ÷ 65536     		y = 0.440780639648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576278686523438 × 2 - 1) × π
    0.152557373046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47927312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440780639648438 × 2 - 1) × π
    0.118438720703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.372086214850876
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47927312} λ = 0.47927312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.372086214850876))-π/2
    2×atan(1.45075805279075)-π/2
    2×0.967291242971118-π/2
    1.93458248594224-1.57079632675     		φ = 0.36378616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47927312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.460327°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36378616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.843412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37767 KachelY 28887 0.47927312 0.36378616 27.460327 20.843412
    Oben rechts KachelX + 1 37768 KachelY 28887 0.47936900 0.36378616 27.465821 20.843412
    Unten links KachelX 37767 KachelY + 1 28888 0.47927312 0.36369656 27.460327 20.838278
    Unten rechts KachelX + 1 37768 KachelY + 1 28888 0.47936900 0.36369656 27.465821 20.838278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36378616-0.36369656) × R
    8.9600000000023e-05 × 6371000     		dl = 570.841600000147m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36378616-0.36369656) × R
    8.9600000000023e-05 × 6371000     		dr = 570.841600000147m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47927312-0.47936900) × cos(0.36378616) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.934556352217467 × 6371000     		do = 570.875130895397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47927312-0.47936900) × cos(0.36369656) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.934588229503929 × 6371000     		du = 570.894603183011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36378616)-sin(0.36369656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934556352217467-0.934588229503929)×R²
    abs(0.47936900-0.47927312)×3.18772864617012e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.18772864617012e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.18772864617012e-05×40589641000000     		ar = 325884.831134603m²