Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37766 / 27267
↖ ↑ ↗
← N 28.907206°
E 27.454834°		 ← 534.69 m → N 28.907206°
E 27.460327°		 →
↑
534.72 m
↓
↑
534.72 m
↓
N 28.902397°
E 27.454834°		 ← 534.71 m →
285 913 m²		 N 28.902397°
E 27.460327°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576271057128906 y=0.416069030761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576271057128906 × 216)
    floor (0.576271057128906 × 65536)
    floor (37766.5)     		tx = 37766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416069030761719 × 216)
    floor (0.416069030761719 × 65536)
    floor (27267.5)     		ty = 27267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37766 / 27267 ti = "16/37766/27267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37766/27267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37766 ÷ 216
    37766 ÷ 65536     		x = 0.576263427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27267 ÷ 216
    27267 ÷ 65536     		y = 0.416061401367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576263427734375 × 2 - 1) × π
    0.15252685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47917725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416061401367188 × 2 - 1) × π
    0.167877197265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.527401769619858
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47917725} λ = 0.47917725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.527401769619858))-π/2
    2×atan(1.69452382069419)-π/2
    2×1.03766112518314-π/2
    2.07532225036629-1.57079632675     		φ = 0.50452592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47917725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.454834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50452592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.907206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37766 KachelY 27267 0.47917725 0.50452592 27.454834 28.907206
    Oben rechts KachelX + 1 37767 KachelY 27267 0.47927312 0.50452592 27.460327 28.907206
    Unten links KachelX 37766 KachelY + 1 27268 0.47917725 0.50444199 27.454834 28.902397
    Unten rechts KachelX + 1 37767 KachelY + 1 27268 0.47927312 0.50444199 27.460327 28.902397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50452592-0.50444199) × R
    8.39299999999543e-05 × 6371000     		dl = 534.718029999709m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50452592-0.50444199) × R
    8.39299999999543e-05 × 6371000     		dr = 534.718029999709m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47917725-0.47927312) × cos(0.50452592) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.875403739500381 × 6371000     		do = 534.685897899087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47917725-0.47927312) × cos(0.50444199) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.875444307548174 × 6371000     		du = 534.710676366532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50452592)-sin(0.50444199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875403739500381-0.875444307548174)×R²
    abs(0.47927312-0.47917725)×4.05680477928438e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.05680477928438e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.05680477928438e-05×40589641000000     		ar = 285912.814907724m²