Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37762 / 30340
↖ ↑ ↗
← N 13.218556°
E 27.432861°		 ← 594.67 m → N 13.218556°
E 27.438355°		 →
↑
594.61 m
↓
↑
594.61 m
↓
N 13.213208°
E 27.432861°		 ← 594.68 m →
353 596 m²		 N 13.213208°
E 27.438355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576210021972656 y=0.462959289550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576210021972656 × 216)
    floor (0.576210021972656 × 65536)
    floor (37762.5)     		tx = 37762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462959289550781 × 216)
    floor (0.462959289550781 × 65536)
    floor (30340.5)     		ty = 30340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37762 / 30340 ti = "16/37762/30340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37762/30340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37762 ÷ 216
    37762 ÷ 65536     		x = 0.576202392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30340 ÷ 216
    30340 ÷ 65536     		y = 0.46295166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576202392578125 × 2 - 1) × π
    0.15240478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47879375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46295166015625 × 2 - 1) × π
    0.0740966796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.232781584554993
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47879375} λ = 0.47879375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.232781584554993))-π/2
    2×atan(1.26210578582364)-π/2
    2×0.900751825230308-π/2
    1.80150365046062-1.57079632675     		φ = 0.23070732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47879375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.432861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23070732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.218556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37762 KachelY 30340 0.47879375 0.23070732 27.432861 13.218556
    Oben rechts KachelX + 1 37763 KachelY 30340 0.47888963 0.23070732 27.438355 13.218556
    Unten links KachelX 37762 KachelY + 1 30341 0.47879375 0.23061399 27.432861 13.213208
    Unten rechts KachelX + 1 37763 KachelY + 1 30341 0.47888963 0.23061399 27.438355 13.213208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23070732-0.23061399) × R
    9.33300000000026e-05 × 6371000     		dl = 594.605430000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23070732-0.23061399) × R
    9.33300000000026e-05 × 6371000     		dr = 594.605430000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47879375-0.47888963) × cos(0.23070732) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.973504898393465 × 6371000     		do = 594.666907970852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47879375-0.47888963) × cos(0.23061399) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.97352623556631 × 6371000     		du = 594.679941814464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23070732)-sin(0.23061399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.973504898393465-0.97352623556631)×R²
    abs(0.47888963-0.47879375)×2.13371728452483e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.13371728452483e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.13371728452483e-05×40589641000000     		ar = 353596.047774484m²