Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37761 / 27009
↖ ↑ ↗
← N 30.140377°
E 27.427368°		 ← 528.21 m → N 30.140377°
E 27.432861°		 →
↑
528.22 m
↓
↑
528.22 m
↓
N 30.135626°
E 27.427368°		 ← 528.23 m →
279 016 m²		 N 30.135626°
E 27.432861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576194763183594 y=0.412132263183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576194763183594 × 216)
    floor (0.576194763183594 × 65536)
    floor (37761.5)     		tx = 37761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412132263183594 × 216)
    floor (0.412132263183594 × 65536)
    floor (27009.5)     		ty = 27009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37761 / 27009 ti = "16/37761/27009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37761/27009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37761 ÷ 216
    37761 ÷ 65536     		x = 0.576187133789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27009 ÷ 216
    27009 ÷ 65536     		y = 0.412124633789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576187133789062 × 2 - 1) × π
    0.152374267578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.47869788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412124633789062 × 2 - 1) × π
    0.175750732421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.552137209823807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47869788} λ = 0.47869788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.552137209823807))-π/2
    2×atan(1.73696130452614)-π/2
    2×1.04842257005497-π/2
    2.09684514010995-1.57079632675     		φ = 0.52604881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47869788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.427368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52604881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.140377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37761 KachelY 27009 0.47869788 0.52604881 27.427368 30.140377
    Oben rechts KachelX + 1 37762 KachelY 27009 0.47879375 0.52604881 27.432861 30.140377
    Unten links KachelX 37761 KachelY + 1 27010 0.47869788 0.52596590 27.427368 30.135626
    Unten rechts KachelX + 1 37762 KachelY + 1 27010 0.47879375 0.52596590 27.432861 30.135626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52604881-0.52596590) × R
    8.29100000000471e-05 × 6371000     		dl = 528.2196100003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52604881-0.52596590) × R
    8.29100000000471e-05 × 6371000     		dr = 528.2196100003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47869788-0.47879375) × cos(0.52604881) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.864797788578714 × 6371000     		do = 528.207912786913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47869788-0.47879375) × cos(0.52596590) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.864839416399508 × 6371000     		du = 528.233338550745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52604881)-sin(0.52596590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864797788578714-0.864839416399508)×R²
    abs(0.47879375-0.47869788)×4.16278207940879e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.16278207940879e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.16278207940879e-05×40589641000000     		ar = 279016.493044551m²