Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37760 / 30080
↖ ↑ ↗
← N 14.604847°
E 27.421875°		 ← 591.05 m → N 14.604847°
E 27.427368°		 →
↑
591.10 m
↓
↑
591.10 m
↓
N 14.599531°
E 27.421875°		 ← 591.07 m →
349 376 m²		 N 14.599531°
E 27.427368°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576179504394531 y=0.458992004394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576179504394531 × 216)
    floor (0.576179504394531 × 65536)
    floor (37760.5)     		tx = 37760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458992004394531 × 216)
    floor (0.458992004394531 × 65536)
    floor (30080.5)     		ty = 30080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37760 / 30080 ti = "16/37760/30080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37760/30080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37760 ÷ 216
    37760 ÷ 65536     		x = 0.576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30080 ÷ 216
    30080 ÷ 65536     		y = 0.458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576171875 × 2 - 1) × π
    0.15234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47860201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458984375 × 2 - 1) × π
    0.08203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.257708772357422
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47860201} λ = 0.47860201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.257708772357422))-π/2
    2×atan(1.29396192626479)-π/2
    2×0.912849498196993-π/2
    1.82569899639399-1.57079632675     		φ = 0.25490267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47860201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.421875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25490267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.604847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37760 KachelY 30080 0.47860201 0.25490267 27.421875 14.604847
    Oben rechts KachelX + 1 37761 KachelY 30080 0.47869788 0.25490267 27.427368 14.604847
    Unten links KachelX 37760 KachelY + 1 30081 0.47860201 0.25480989 27.421875 14.599531
    Unten rechts KachelX + 1 37761 KachelY + 1 30081 0.47869788 0.25480989 27.427368 14.599531
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25490267-0.25480989) × R
    9.27800000000145e-05 × 6371000     		dl = 591.101380000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25490267-0.25480989) × R
    9.27800000000145e-05 × 6371000     		dr = 591.101380000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47860201-0.47869788) × cos(0.25490267) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.96768784215076 × 6371000     		do = 591.051899163362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47860201-0.47869788) × cos(0.25480989) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.96771123257637 × 6371000     		du = 591.066185749259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25490267)-sin(0.25480989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.96768784215076-0.96771123257637)×R²
    abs(0.47869788-0.47860201)×2.33904256100592e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.33904256100592e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.33904256100592e-05×40589641000000     		ar = 349375.81590808m²