Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3776 / 3776
↖ ↑ ↗
← N 79.812302°
W138.515625°		 ← 216.08 m → N 79.812302°
W138.504638°		 →
↑
216.10 m
↓
↑
216.10 m
↓
N 79.810359°
W138.515625°		 ← 216.12 m →
46 699 m²		 N 79.810359°
W138.504638°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.115249633789062 y=0.115249633789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.115249633789062 × 215)
    floor (0.115249633789062 × 32768)
    floor (3776.5)     		tx = 3776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115249633789062 × 215)
    floor (0.115249633789062 × 32768)
    floor (3776.5)     		ty = 3776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3776 / 3776 ti = "15/3776/3776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3776/3776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3776 ÷ 215
    3776 ÷ 32768     		x = 0.115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3776 ÷ 215
    3776 ÷ 32768     		y = 0.115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.115234375 × 2 - 1) × π
    -0.76953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.41755372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115234375 × 2 - 1) × π
    0.76953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.41755372163867
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.41755372} λ = -2.41755372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41755372163867))-π/2
    2×atan(11.2183824343369)-π/2
    2×1.48189189245685-π/2
    2.96378378491369-1.57079632675     		φ = 1.39298746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.41755372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.515625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39298746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.812302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3776 KachelY 3776 -2.41755372 1.39298746 -138.515625 79.812302
    Oben rechts KachelX + 1 3777 KachelY 3776 -2.41736197 1.39298746 -138.504638 79.812302
    Unten links KachelX 3776 KachelY + 1 3777 -2.41755372 1.39295354 -138.515625 79.810359
    Unten rechts KachelX + 1 3777 KachelY + 1 3777 -2.41736197 1.39295354 -138.504638 79.810359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39298746-1.39295354) × R
    3.39200000001316e-05 × 6371000     		dl = 216.104320000839m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39298746-1.39295354) × R
    3.39200000001316e-05 × 6371000     		dr = 216.104320000839m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.41755372--2.41736197) × cos(1.39298746) × R
    0.000191749999999935 × 0.17687341280078 × 6371000     		do = 216.075503358812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.41755372--2.41736197) × cos(1.39295354) × R
    0.000191749999999935 × 0.176906797903017 × 6371000     		du = 216.11628791007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39298746)-sin(1.39295354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17687341280078-0.176906797903017)×R²
    abs(-2.41736197--2.41755372)×3.33851022373266e-05×R²
    0.000191749999999935×3.33851022373266e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.33851022373266e-05×40589641000000     		ar = 46699.256584951m²