Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3776 / 2756
↖ ↑ ↗
← N 75.823660°
W 97.031250°		 ← 598.38 m → N 75.823660°
W 97.009277°		 →
↑
598.49 m
↓
↑
598.49 m
↓
N 75.818277°
W 97.031250°		 ← 598.60 m →
358 190 m²		 N 75.818277°
W 97.009277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.230499267578125 y=0.168243408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.230499267578125 × 214)
    floor (0.230499267578125 × 16384)
    floor (3776.5)     		tx = 3776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.168243408203125 × 214)
    floor (0.168243408203125 × 16384)
    floor (2756.5)     		ty = 2756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3776 / 2756 ti = "14/3776/2756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3776/2756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3776 ÷ 214
    3776 ÷ 16384     		x = 0.23046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2756 ÷ 214
    2756 ÷ 16384     		y = 0.168212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.23046875 × 2 - 1) × π
    -0.5390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.69351479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.168212890625 × 2 - 1) × π
    0.66357421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.084679890677
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.69351479} λ = -1.69351479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.084679890677))-π/2
    2×atan(8.04201674508527)-π/2
    2×1.44708441803767-π/2
    2.89416883607534-1.57079632675     		φ = 1.32337251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.69351479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.031250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32337251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.823660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3776 KachelY 2756 -1.69351479 1.32337251 -97.031250 75.823660
    Oben rechts KachelX + 1 3777 KachelY 2756 -1.69313129 1.32337251 -97.009277 75.823660
    Unten links KachelX 3776 KachelY + 1 2757 -1.69351479 1.32327857 -97.031250 75.818277
    Unten rechts KachelX + 1 3777 KachelY + 1 2757 -1.69313129 1.32327857 -97.009277 75.818277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32337251-1.32327857) × R
    9.39399999999591e-05 × 6371000     		dl = 598.491739999739m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32337251-1.32327857) × R
    9.39399999999591e-05 × 6371000     		dr = 598.491739999739m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.69351479--1.69313129) × cos(1.32337251) × R
    0.000383500000000092 × 0.24490704513254 × 6371000     		do = 598.376117871008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.69351479--1.69313129) × cos(1.32327857) × R
    0.000383500000000092 × 0.244998123255984 × 6371000     		du = 598.598647091841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32337251)-sin(1.32327857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.24490704513254-0.244998123255984)×R²
    abs(-1.69313129--1.69351479)×9.10781234444713e-05×R²
    0.000383500000000092×9.10781234444713e-05×6371000²
    0.000383500000000092×9.10781234444713e-05×40589641000000     		ar = 358189.755171507m²