Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3776 / 2494
↖ ↑ ↗
← N 57.373938°
W 14.062500°		 ← 2 634.57 m → N 57.373938°
W 14.018555°		 →
↑
2 635.43 m
↓
↑
2 635.43 m
↓
N 57.350237°
W 14.062500°		 ← 2 636.27 m →
6 945 468 m²		 N 57.350237°
W 14.018555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46099853515625 y=0.30450439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46099853515625 × 213)
    floor (0.46099853515625 × 8192)
    floor (3776.5)     		tx = 3776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.30450439453125 × 213)
    floor (0.30450439453125 × 8192)
    floor (2494.5)     		ty = 2494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3776 / 2494 ti = "13/3776/2494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3776/2494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3776 ÷ 213
    3776 ÷ 8192     		x = 0.4609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2494 ÷ 213
    2494 ÷ 8192     		y = 0.304443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4609375 × 2 - 1) × π
    -0.078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24543693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304443359375 × 2 - 1) × π
    0.39111328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.22871861106128
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24543693} λ = -0.24543693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22871861106128))-π/2
    2×atan(3.41684841816267)-π/2
    2×1.2860802285095-π/2
    2.57216045701899-1.57079632675     		φ = 1.00136413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24543693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00136413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.373938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3776 KachelY 2494 -0.24543693 1.00136413 -14.062500 57.373938
    Oben rechts KachelX + 1 3777 KachelY 2494 -0.24466994 1.00136413 -14.018555 57.373938
    Unten links KachelX 3776 KachelY + 1 2495 -0.24543693 1.00095047 -14.062500 57.350237
    Unten rechts KachelX + 1 3777 KachelY + 1 2495 -0.24466994 1.00095047 -14.018555 57.350237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00136413-1.00095047) × R
    0.000413659999999982 × 6371000     		dl = 2635.42785999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00136413-1.00095047) × R
    0.000413659999999982 × 6371000     		dr = 2635.42785999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24543693--0.24466994) × cos(1.00136413) × R
    0.000766989999999995 × 0.539153927698765 × 6371000     		do = 2634.57204997715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24543693--0.24466994) × cos(1.00095047) × R
    0.000766989999999995 × 0.539502269008929 × 6371000     		du = 2636.27421745189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00136413)-sin(1.00095047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.539153927698765-0.539502269008929)×R²
    abs(-0.24466994--0.24543693)×0.000348341310163258×R²
    0.000766989999999995×0.000348341310163258×6371000²
    0.000766989999999995×0.000348341310163258×40589641000000     		ar = 6945467.64851837m²