Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37759 / 30338
↖ ↑ ↗
← N 13.229251°
E 27.416382°		 ← 594.64 m → N 13.229251°
E 27.421875°		 →
↑
594.61 m
↓
↑
594.61 m
↓
N 13.223904°
E 27.416382°		 ← 594.65 m →
353 581 m²		 N 13.223904°
E 27.421875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37759 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576164245605469 y=0.462928771972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576164245605469 × 216)
    floor (0.576164245605469 × 65536)
    floor (37759.5)     		tx = 37759
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462928771972656 × 216)
    floor (0.462928771972656 × 65536)
    floor (30338.5)     		ty = 30338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37759 / 30338 ti = "16/37759/30338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37759/30338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37759 ÷ 216
    37759 ÷ 65536     		x = 0.576156616210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30338 ÷ 216
    30338 ÷ 65536     		y = 0.462921142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576156616210938 × 2 - 1) × π
    0.152313232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47850613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462921142578125 × 2 - 1) × π
    0.07415771484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.232973332153473
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47850613} λ = 0.47850613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.232973332153473))-π/2
    2×atan(1.26234781478059)-π/2
    2×0.900845156796742-π/2
    1.80169031359348-1.57079632675     		φ = 0.23089399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47850613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.416382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23089399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.229251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37759 KachelY 30338 0.47850613 0.23089399 27.416382 13.229251
    Oben rechts KachelX + 1 37760 KachelY 30338 0.47860201 0.23089399 27.421875 13.229251
    Unten links KachelX 37759 KachelY + 1 30339 0.47850613 0.23080066 27.416382 13.223904
    Unten rechts KachelX + 1 37760 KachelY + 1 30339 0.47860201 0.23080066 27.421875 13.223904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23089399-0.23080066) × R
    9.33300000000026e-05 × 6371000     		dl = 594.605430000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23089399-0.23080066) × R
    9.33300000000026e-05 × 6371000     		dr = 594.605430000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47850613-0.47860201) × cos(0.23089399) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.973462196320371 × 6371000     		do = 594.640823346648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47850613-0.47860201) × cos(0.23080066) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.973483550453346 × 6371000     		du = 594.65386755038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23089399)-sin(0.23080066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.973462196320371-0.973483550453346)×R²
    abs(0.47860201-0.47850613)×2.13541329751044e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.13541329751044e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.13541329751044e-05×40589641000000     		ar = 353580.540795465m²