Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37758 / 29825
↖ ↑ ↗
← N 15.956048°
E 27.410889°		 ← 587.26 m → N 15.956048°
E 27.416382°		 →
↑
587.28 m
↓
↑
587.28 m
↓
N 15.950766°
E 27.410889°		 ← 587.27 m →
344 887 m²		 N 15.950766°
E 27.416382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576148986816406 y=0.455101013183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576148986816406 × 216)
    floor (0.576148986816406 × 65536)
    floor (37758.5)     		tx = 37758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.455101013183594 × 216)
    floor (0.455101013183594 × 65536)
    floor (29825.5)     		ty = 29825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37758 / 29825 ti = "16/37758/29825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37758/29825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37758 ÷ 216
    37758 ÷ 65536     		x = 0.576141357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29825 ÷ 216
    29825 ÷ 65536     		y = 0.455093383789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576141357421875 × 2 - 1) × π
    0.15228271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47841026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.455093383789062 × 2 - 1) × π
    0.089813232421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.28215659116365
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47841026} λ = 0.47841026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.28215659116365))-π/2
    2×atan(1.32598634147472)-π/2
    2×0.924640946707195-π/2
    1.84928189341439-1.57079632675     		φ = 0.27848557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47841026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.410889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27848557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.956048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37758 KachelY 29825 0.47841026 0.27848557 27.410889 15.956048
    Oben rechts KachelX + 1 37759 KachelY 29825 0.47850613 0.27848557 27.416382 15.956048
    Unten links KachelX 37758 KachelY + 1 29826 0.47841026 0.27839339 27.410889 15.950766
    Unten rechts KachelX + 1 37759 KachelY + 1 29826 0.47850613 0.27839339 27.416382 15.950766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27848557-0.27839339) × R
    9.21799999999973e-05 × 6371000     		dl = 587.278779999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27848557-0.27839339) × R
    9.21799999999973e-05 × 6371000     		dr = 587.278779999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47841026-0.47850613) × cos(0.27848557) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.961472857346386 × 6371000     		do = 587.255862454114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47841026-0.47850613) × cos(0.27839339) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.961498193532492 × 6371000     		du = 587.271337486726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27848557)-sin(0.27839339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.961472857346386-0.961498193532492)×R²
    abs(0.47850613-0.47841026)×2.53361861061174e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.53361861061174e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.53361861061174e-05×40589641000000     		ar = 344887.450773238m²