Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37758 / 28918
↖ ↑ ↗
← N 20.684184°
E 27.410889°		 ← 571.42 m → N 20.684184°
E 27.416382°		 →
↑
571.48 m
↓
↑
571.48 m
↓
N 20.679044°
E 27.410889°		 ← 571.44 m →
326 558 m²		 N 20.679044°
E 27.416382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576148986816406 y=0.441261291503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576148986816406 × 216)
    floor (0.576148986816406 × 65536)
    floor (37758.5)     		tx = 37758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441261291503906 × 216)
    floor (0.441261291503906 × 65536)
    floor (28918.5)     		ty = 28918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37758 / 28918 ti = "16/37758/28918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37758/28918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37758 ÷ 216
    37758 ÷ 65536     		x = 0.576141357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28918 ÷ 216
    28918 ÷ 65536     		y = 0.441253662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576141357421875 × 2 - 1) × π
    0.15228271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47841026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441253662109375 × 2 - 1) × π
    0.11749267578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.369114127074432
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47841026} λ = 0.47841026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.369114127074432))-π/2
    2×atan(1.44645267366703)-π/2
    2×0.965901718411165-π/2
    1.93180343682233-1.57079632675     		φ = 0.36100711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47841026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.410889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36100711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.684184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37758 KachelY 28918 0.47841026 0.36100711 27.410889 20.684184
    Oben rechts KachelX + 1 37759 KachelY 28918 0.47850613 0.36100711 27.416382 20.684184
    Unten links KachelX 37758 KachelY + 1 28919 0.47841026 0.36091741 27.410889 20.679044
    Unten rechts KachelX + 1 37759 KachelY + 1 28919 0.47850613 0.36091741 27.416382 20.679044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36100711-0.36091741) × R
    8.97000000000259e-05 × 6371000     		dl = 571.478700000165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36100711-0.36091741) × R
    8.97000000000259e-05 × 6371000     		dr = 571.478700000165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47841026-0.47850613) × cos(0.36100711) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.935541570208581 × 6371000     		do = 571.417349409985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47841026-0.47850613) × cos(0.36091741) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.935573249974327 × 6371000     		du = 571.436699023459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36100711)-sin(0.36091741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935541570208581-0.935573249974327)×R²
    abs(0.47850613-0.47841026)×3.16797657464729e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.16797657464729e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.16797657464729e-05×40589641000000     		ar = 326558.373163147m²