Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37758 / 27286
↖ ↑ ↗
← N 28.815800°
E 27.410889°		 ← 535.16 m → N 28.815800°
E 27.416382°		 →
↑
535.16 m
↓
↑
535.16 m
↓
N 28.810987°
E 27.410889°		 ← 535.18 m →
286 403 m²		 N 28.810987°
E 27.416382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576148986816406 y=0.416358947753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576148986816406 × 216)
    floor (0.576148986816406 × 65536)
    floor (37758.5)     		tx = 37758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416358947753906 × 216)
    floor (0.416358947753906 × 65536)
    floor (27286.5)     		ty = 27286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37758 / 27286 ti = "16/37758/27286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37758/27286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37758 ÷ 216
    37758 ÷ 65536     		x = 0.576141357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27286 ÷ 216
    27286 ÷ 65536     		y = 0.416351318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576141357421875 × 2 - 1) × π
    0.15228271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47841026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416351318359375 × 2 - 1) × π
    0.16729736328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.525580167434296
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47841026} λ = 0.47841026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.525580167434296))-π/2
    2×atan(1.69143988210633)-π/2
    2×1.03686345569837-π/2
    2.07372691139675-1.57079632675     		φ = 0.50293058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47841026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.410889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50293058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.815800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37758 KachelY 27286 0.47841026 0.50293058 27.410889 28.815800
    Oben rechts KachelX + 1 37759 KachelY 27286 0.47850613 0.50293058 27.416382 28.815800
    Unten links KachelX 37758 KachelY + 1 27287 0.47841026 0.50284658 27.410889 28.810987
    Unten rechts KachelX + 1 37759 KachelY + 1 27287 0.47850613 0.50284658 27.416382 28.810987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50293058-0.50284658) × R
    8.3999999999973e-05 × 6371000     		dl = 535.163999999828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50293058-0.50284658) × R
    8.3999999999973e-05 × 6371000     		dr = 535.163999999828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47841026-0.47850613) × cos(0.50293058) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.876173800538453 × 6371000     		do = 535.156241763295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47841026-0.47850613) × cos(0.50284658) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.876214285052641 × 6371000     		du = 535.180969209435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50293058)-sin(0.50284658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876173800538453-0.876214285052641)×R²
    abs(0.47850613-0.47841026)×4.04845141879218e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.04845141879218e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.04845141879218e-05×40589641000000     		ar = 286402.971754895m²