Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37757 / 28924
↖ ↑ ↗
← N 20.653346°
E 27.405395°		 ← 571.59 m → N 20.653346°
E 27.410889°		 →
↑
571.54 m
↓
↑
571.54 m
↓
N 20.648206°
E 27.405395°		 ← 571.61 m →
326 695 m²		 N 20.648206°
E 27.410889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576133728027344 y=0.441352844238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576133728027344 × 216)
    floor (0.576133728027344 × 65536)
    floor (37757.5)     		tx = 37757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441352844238281 × 216)
    floor (0.441352844238281 × 65536)
    floor (28924.5)     		ty = 28924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37757 / 28924 ti = "16/37757/28924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37757/28924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37757 ÷ 216
    37757 ÷ 65536     		x = 0.576126098632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28924 ÷ 216
    28924 ÷ 65536     		y = 0.44134521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576126098632812 × 2 - 1) × π
    0.152252197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47831438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44134521484375 × 2 - 1) × π
    0.1173095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.368538884278992
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47831438} λ = 0.47831438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.368538884278992))-π/2
    2×atan(1.44562085146036)-π/2
    2×0.965632609311528-π/2
    1.93126521862306-1.57079632675     		φ = 0.36046889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47831438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.405395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36046889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.653346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37757 KachelY 28924 0.47831438 0.36046889 27.405395 20.653346
    Oben rechts KachelX + 1 37758 KachelY 28924 0.47841026 0.36046889 27.410889 20.653346
    Unten links KachelX 37757 KachelY + 1 28925 0.47831438 0.36037918 27.405395 20.648206
    Unten rechts KachelX + 1 37758 KachelY + 1 28925 0.47841026 0.36037918 27.410889 20.648206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36046889-0.36037918) × R
    8.97099999999651e-05 × 6371000     		dl = 571.542409999778m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36046889-0.36037918) × R
    8.97099999999651e-05 × 6371000     		dr = 571.542409999778m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47831438-0.47841026) × cos(0.36046889) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.935731542936626 × 6371000     		do = 571.592997885477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47831438-0.47841026) × cos(0.36037918) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.935763181056923 × 6371000     		du = 571.612324078086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36046889)-sin(0.36037918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935731542936626-0.935763181056923)×R²
    abs(0.47841026-0.47831438)×3.16381202977167e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.16381202977167e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.16381202977167e-05×40589641000000     		ar = 326695.162638903m²