Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37756 / 28956
↖ ↑ ↗
← N 20.488773°
E 27.399902°		 ← 572.15 m → N 20.488773°
E 27.405395°		 →
↑
572.18 m
↓
↑
572.18 m
↓
N 20.483627°
E 27.399902°		 ← 572.17 m →
327 378 m²		 N 20.483627°
E 27.405395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576118469238281 y=0.441841125488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576118469238281 × 216)
    floor (0.576118469238281 × 65536)
    floor (37756.5)     		tx = 37756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441841125488281 × 216)
    floor (0.441841125488281 × 65536)
    floor (28956.5)     		ty = 28956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37756 / 28956 ti = "16/37756/28956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37756/28956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37756 ÷ 216
    37756 ÷ 65536     		x = 0.57611083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28956 ÷ 216
    28956 ÷ 65536     		y = 0.44183349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57611083984375 × 2 - 1) × π
    0.1522216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47821851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44183349609375 × 2 - 1) × π
    0.1163330078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.365470922703308
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47821851} λ = 0.47821851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.365470922703308))-π/2
    2×atan(1.44119253865526)-π/2
    2×0.96419644016992-π/2
    1.92839288033984-1.57079632675     		φ = 0.35759655
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47821851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.399902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35759655 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.488773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37756 KachelY 28956 0.47821851 0.35759655 27.399902 20.488773
    Oben rechts KachelX + 1 37757 KachelY 28956 0.47831438 0.35759655 27.405395 20.488773
    Unten links KachelX 37756 KachelY + 1 28957 0.47821851 0.35750674 27.399902 20.483627
    Unten rechts KachelX + 1 37757 KachelY + 1 28957 0.47831438 0.35750674 27.405395 20.483627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35759655-0.35750674) × R
    8.98100000000235e-05 × 6371000     		dl = 572.17951000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35759655-0.35750674) × R
    8.98100000000235e-05 × 6371000     		dr = 572.17951000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47821851-0.47831438) × cos(0.35759655) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.936740793232409 × 6371000     		do = 572.149820166441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47821851-0.47831438) × cos(0.35750674) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.936772225095346 × 6371000     		du = 572.169018363912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35759655)-sin(0.35750674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936740793232409-0.936772225095346)×R²
    abs(0.47831438-0.47821851)×3.14318629375254e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.14318629375254e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.14318629375254e-05×40589641000000     		ar = 327377.896377198m²