Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37751 / 28921
↖ ↑ ↗
← N 20.668765°
E 27.372436°		 ← 571.53 m → N 20.668765°
E 27.377930°		 →
↑
571.48 m
↓
↑
571.48 m
↓
N 20.663626°
E 27.372436°		 ← 571.55 m →
326 626 m²		 N 20.663626°
E 27.377930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576042175292969 y=0.441307067871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576042175292969 × 216)
    floor (0.576042175292969 × 65536)
    floor (37751.5)     		tx = 37751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441307067871094 × 216)
    floor (0.441307067871094 × 65536)
    floor (28921.5)     		ty = 28921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37751 / 28921 ti = "16/37751/28921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37751/28921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37751 ÷ 216
    37751 ÷ 65536     		x = 0.576034545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28921 ÷ 216
    28921 ÷ 65536     		y = 0.441299438476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576034545898438 × 2 - 1) × π
    0.152069091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47773914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441299438476562 × 2 - 1) × π
    0.117401123046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.368826505676712
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47773914} λ = 0.47773914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.368826505676712))-π/2
    2×atan(1.44603670275123)-π/2
    2×0.965767170691351-π/2
    1.9315343413827-1.57079632675     		φ = 0.36073801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47773914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.372436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36073801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.668765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37751 KachelY 28921 0.47773914 0.36073801 27.372436 20.668765
    Oben rechts KachelX + 1 37752 KachelY 28921 0.47783502 0.36073801 27.377930 20.668765
    Unten links KachelX 37751 KachelY + 1 28922 0.47773914 0.36064831 27.372436 20.663626
    Unten rechts KachelX + 1 37752 KachelY + 1 28922 0.47783502 0.36064831 27.377930 20.663626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36073801-0.36064831) × R
    8.96999999999704e-05 × 6371000     		dl = 571.478699999811m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36073801-0.36064831) × R
    8.96999999999704e-05 × 6371000     		dr = 571.478699999811m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47773914-0.47783502) × cos(0.36073801) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.935636586922446 × 6371000     		do = 571.534993863681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47773914-0.47783502) × cos(0.36064831) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.935668244104308 × 6371000     		du = 571.554331700074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36073801)-sin(0.36064831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935636586922446-0.935668244104308)×R²
    abs(0.47783502-0.47773914)×3.16571818621547e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.16571818621547e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.16571818621547e-05×40589641000000     		ar = 326625.601097425m²