Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37750 / 28926
↖ ↑ ↗
← N 20.643065°
E 27.366943°		 ← 571.57 m → N 20.643065°
E 27.372436°		 →
↑
571.61 m
↓
↑
571.61 m
↓
N 20.637925°
E 27.366943°		 ← 571.59 m →
326 720 m²		 N 20.637925°
E 27.372436°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576026916503906 y=0.441383361816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576026916503906 × 216)
    floor (0.576026916503906 × 65536)
    floor (37750.5)     		tx = 37750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441383361816406 × 216)
    floor (0.441383361816406 × 65536)
    floor (28926.5)     		ty = 28926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37750 / 28926 ti = "16/37750/28926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37750/28926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37750 ÷ 216
    37750 ÷ 65536     		x = 0.576019287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28926 ÷ 216
    28926 ÷ 65536     		y = 0.441375732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576019287109375 × 2 - 1) × π
    0.15203857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47764327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441375732421875 × 2 - 1) × π
    0.11724853515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.368347136680511
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47764327} λ = 0.47764327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.368347136680511))-π/2
    2×atan(1.44534368370776)-π/2
    2×0.965542894140212-π/2
    1.93108578828042-1.57079632675     		φ = 0.36028946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47764327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.366943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36028946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.643065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37750 KachelY 28926 0.47764327 0.36028946 27.366943 20.643065
    Oben rechts KachelX + 1 37751 KachelY 28926 0.47773914 0.36028946 27.372436 20.643065
    Unten links KachelX 37750 KachelY + 1 28927 0.47764327 0.36019974 27.366943 20.637925
    Unten rechts KachelX + 1 37751 KachelY + 1 28927 0.47773914 0.36019974 27.372436 20.637925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36028946-0.36019974) × R
    8.97200000000153e-05 × 6371000     		dl = 571.606120000098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36028946-0.36019974) × R
    8.97200000000153e-05 × 6371000     		dr = 571.606120000098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47764327-0.47773914) × cos(0.36028946) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.935794815171759 × 6371000     		do = 571.572028336308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47764327-0.47773914) × cos(0.36019974) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.935826441753747 × 6371000     		du = 571.591345465794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36028946)-sin(0.36019974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935794815171759-0.935826441753747)×R²
    abs(0.47773914-0.47764327)×3.16265819881867e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.16265819881867e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.16265819881867e-05×40589641000000     		ar = 326719.590531825m²