Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37750 / 27741
↖ ↑ ↗
← N 26.603263°
E 27.366943°		 ← 546.12 m → N 26.603263°
E 27.372436°		 →
↑
546.19 m
↓
↑
546.19 m
↓
N 26.598351°
E 27.366943°		 ← 546.15 m →
298 291 m²		 N 26.598351°
E 27.372436°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576026916503906 y=0.423301696777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576026916503906 × 216)
    floor (0.576026916503906 × 65536)
    floor (37750.5)     		tx = 37750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423301696777344 × 216)
    floor (0.423301696777344 × 65536)
    floor (27741.5)     		ty = 27741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37750 / 27741 ti = "16/37750/27741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37750/27741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37750 ÷ 216
    37750 ÷ 65536     		x = 0.576019287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27741 ÷ 216
    27741 ÷ 65536     		y = 0.423294067382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576019287109375 × 2 - 1) × π
    0.15203857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47764327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423294067382812 × 2 - 1) × π
    0.153411865234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.481957588780045
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47764327} λ = 0.47764327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.481957588780045))-π/2
    2×atan(1.61924110985476)-π/2
    2×1.01755542793777-π/2
    2.03511085587554-1.57079632675     		φ = 0.46431453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47764327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.366943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46431453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.603263°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37750 KachelY 27741 0.47764327 0.46431453 27.366943 26.603263
    Oben rechts KachelX + 1 37751 KachelY 27741 0.47773914 0.46431453 27.372436 26.603263
    Unten links KachelX 37750 KachelY + 1 27742 0.47764327 0.46422880 27.366943 26.598351
    Unten rechts KachelX + 1 37751 KachelY + 1 27742 0.47773914 0.46422880 27.372436 26.598351
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46431453-0.46422880) × R
    8.57300000000061e-05 × 6371000     		dl = 546.185830000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46431453-0.46422880) × R
    8.57300000000061e-05 × 6371000     		dr = 546.185830000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47764327-0.47773914) × cos(0.46431453) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.894128735970788 × 6371000     		do = 546.122896736504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47764327-0.47773914) × cos(0.46422880) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.894167123436991 × 6371000     		du = 546.146343331383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46431453)-sin(0.46422880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894128735970788-0.894167123436991)×R²
    abs(0.47773914-0.47764327)×3.83874662034378e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.83874662034378e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.83874662034378e-05×40589641000000     		ar = 298290.990917689m²