Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3775 / 2757
↖ ↑ ↗
← N 75.818277°
W 97.053222°		 ← 598.58 m → N 75.818277°
W 97.031250°		 →
↑
598.68 m
↓
↑
598.68 m
↓
N 75.812893°
W 97.053222°		 ← 598.81 m →
358 428 m²		 N 75.812893°
W 97.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.230438232421875 y=0.168304443359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.230438232421875 × 214)
    floor (0.230438232421875 × 16384)
    floor (3775.5)     		tx = 3775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.168304443359375 × 214)
    floor (0.168304443359375 × 16384)
    floor (2757.5)     		ty = 2757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3775 / 2757 ti = "14/3775/2757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3775/2757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3775 ÷ 214
    3775 ÷ 16384     		x = 0.23040771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2757 ÷ 214
    2757 ÷ 16384     		y = 0.16827392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.23040771484375 × 2 - 1) × π
    -0.5391845703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.69389828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16827392578125 × 2 - 1) × π
    0.6634521484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.08429639548004
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.69389828} λ = -1.69389828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08429639548004))-π/2
    2×atan(8.03893326157801)-π/2
    2×1.44703744896845-π/2
    2.89407489793691-1.57079632675     		φ = 1.32327857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.69389828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.053222°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32327857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.818277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3775 KachelY 2757 -1.69389828 1.32327857 -97.053222 75.818277
    Oben rechts KachelX + 1 3776 KachelY 2757 -1.69351479 1.32327857 -97.031250 75.818277
    Unten links KachelX 3775 KachelY + 1 2758 -1.69389828 1.32318460 -97.053222 75.812893
    Unten rechts KachelX + 1 3776 KachelY + 1 2758 -1.69351479 1.32318460 -97.031250 75.812893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32327857-1.32318460) × R
    9.39699999999988e-05 × 6371000     		dl = 598.682869999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32327857-1.32318460) × R
    9.39699999999988e-05 × 6371000     		dr = 598.682869999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.69389828--1.69351479) × cos(1.32327857) × R
    0.000383489999999931 × 0.244998123255984 × 6371000     		do = 598.583038261156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.69389828--1.69351479) × cos(1.32318460) × R
    0.000383489999999931 × 0.245089228302404 × 6371000     		du = 598.805627458013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32327857)-sin(1.32318460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.244998123255984-0.245089228302404)×R²
    abs(-1.69351479--1.69389828)×9.11050464197094e-05×R²
    0.000383489999999931×9.11050464197094e-05×6371000²
    0.000383489999999931×9.11050464197094e-05×40589641000000     		ar = 358428.041713214m²