Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3775 / 2621
↖ ↑ ↗
← N 54.239550°
W 14.106446°		 ← 2 855.66 m → N 54.239550°
W 14.062500°		 →
↑
2 856.57 m
↓
↑
2 856.57 m
↓
N 54.213861°
W 14.106446°		 ← 2 857.43 m →
8 159 905 m²		 N 54.213861°
W 14.062500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46087646484375 y=0.32000732421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46087646484375 × 213)
    floor (0.46087646484375 × 8192)
    floor (3775.5)     		tx = 3775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32000732421875 × 213)
    floor (0.32000732421875 × 8192)
    floor (2621.5)     		ty = 2621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3775 / 2621 ti = "13/3775/2621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3775/2621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3775 ÷ 213
    3775 ÷ 8192     		x = 0.4608154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2621 ÷ 213
    2621 ÷ 8192     		y = 0.3199462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4608154296875 × 2 - 1) × π
    -0.078369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24620392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3199462890625 × 2 - 1) × π
    0.360107421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.13131083103333
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24620392} λ = -0.24620392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13131083103333))-π/2
    2×atan(3.09971704349529)-π/2
    2×1.2587275341768-π/2
    2.51745506835359-1.57079632675     		φ = 0.94665874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24620392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.106446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94665874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.239550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3775 KachelY 2621 -0.24620392 0.94665874 -14.106446 54.239550
    Oben rechts KachelX + 1 3776 KachelY 2621 -0.24543693 0.94665874 -14.062500 54.239550
    Unten links KachelX 3775 KachelY + 1 2622 -0.24620392 0.94621037 -14.106446 54.213861
    Unten rechts KachelX + 1 3776 KachelY + 1 2622 -0.24543693 0.94621037 -14.062500 54.213861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94665874-0.94621037) × R
    0.000448370000000087 × 6371000     		dl = 2856.56527000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94665874-0.94621037) × R
    0.000448370000000087 × 6371000     		dr = 2856.56527000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24620392--0.24543693) × cos(0.94665874) × R
    0.000766989999999995 × 0.584397670139097 × 6371000     		do = 2855.65529382631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24620392--0.24543693) × cos(0.94621037) × R
    0.000766989999999995 × 0.584761449028704 × 6371000     		du = 2857.43289692942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94665874)-sin(0.94621037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584397670139097-0.584761449028704)×R²
    abs(-0.24543693--0.24620392)×0.000363778889606592×R²
    0.000766989999999995×0.000363778889606592×6371000²
    0.000766989999999995×0.000363778889606592×40589641000000     		ar = 8159904.79178562m²