Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37747 / 28933
↖ ↑ ↗
← N 20.607078°
E 27.350464°		 ← 571.71 m → N 20.607078°
E 27.355957°		 →
↑
571.73 m
↓
↑
571.73 m
↓
N 20.601936°
E 27.350464°		 ← 571.73 m →
326 870 m²		 N 20.601936°
E 27.355957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37747 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575981140136719 y=0.441490173339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575981140136719 × 216)
    floor (0.575981140136719 × 65536)
    floor (37747.5)     		tx = 37747
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441490173339844 × 216)
    floor (0.441490173339844 × 65536)
    floor (28933.5)     		ty = 28933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37747 / 28933 ti = "16/37747/28933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37747/28933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37747 ÷ 216
    37747 ÷ 65536     		x = 0.575973510742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28933 ÷ 216
    28933 ÷ 65536     		y = 0.441482543945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575973510742188 × 2 - 1) × π
    0.151947021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47735565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441482543945312 × 2 - 1) × π
    0.117034912109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.367676020085831
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47735565} λ = 0.47735565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.367676020085831))-π/2
    2×atan(1.44437401499338)-π/2
    2×0.96522884329562-π/2
    1.93045768659124-1.57079632675     		φ = 0.35966136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47735565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.350464°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35966136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.607078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37747 KachelY 28933 0.47735565 0.35966136 27.350464 20.607078
    Oben rechts KachelX + 1 37748 KachelY 28933 0.47745152 0.35966136 27.355957 20.607078
    Unten links KachelX 37747 KachelY + 1 28934 0.47735565 0.35957162 27.350464 20.601936
    Unten rechts KachelX + 1 37748 KachelY + 1 28934 0.47745152 0.35957162 27.355957 20.601936
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35966136-0.35957162) × R
    8.97400000000048e-05 × 6371000     		dl = 571.733540000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35966136-0.35957162) × R
    8.97400000000048e-05 × 6371000     		dr = 571.733540000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47735565-0.47745152) × cos(0.35966136) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.936016064159068 × 6371000     		do = 571.707164511882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47735565-0.47745152) × cos(0.35957162) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.936047645036427 × 6371000     		du = 571.726453725538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35966136)-sin(0.35957162))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936016064159068-0.936047645036427)×R²
    abs(0.47745152-0.47735565)×3.15808773589943e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.15808773589943e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.15808773589943e-05×40589641000000     		ar = 326869.675374334m²