Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37744 / 30321
↖ ↑ ↗
← N 13.320139°
E 27.333985°		 ← 594.36 m → N 13.320139°
E 27.339478°		 →
↑
594.35 m
↓
↑
594.35 m
↓
N 13.314794°
E 27.333985°		 ← 594.37 m →
353 260 m²		 N 13.314794°
E 27.339478°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575935363769531 y=0.462669372558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575935363769531 × 216)
    floor (0.575935363769531 × 65536)
    floor (37744.5)     		tx = 37744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462669372558594 × 216)
    floor (0.462669372558594 × 65536)
    floor (30321.5)     		ty = 30321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37744 / 30321 ti = "16/37744/30321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37744/30321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37744 ÷ 216
    37744 ÷ 65536     		x = 0.575927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30321 ÷ 216
    30321 ÷ 65536     		y = 0.462661743164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575927734375 × 2 - 1) × π
    0.15185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47706803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462661743164062 × 2 - 1) × π
    0.074676513671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.234603186740555
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47706803} λ = 0.47706803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.234603186740555))-π/2
    2×atan(1.26440693573505)-π/2
    2×0.901638309449905-π/2
    1.80327661889981-1.57079632675     		φ = 0.23248029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47706803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.333985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23248029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.320139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37744 KachelY 30321 0.47706803 0.23248029 27.333985 13.320139
    Oben rechts KachelX + 1 37745 KachelY 30321 0.47716390 0.23248029 27.339478 13.320139
    Unten links KachelX 37744 KachelY + 1 30322 0.47706803 0.23238700 27.333985 13.314794
    Unten rechts KachelX + 1 37745 KachelY + 1 30322 0.47716390 0.23238700 27.339478 13.314794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23248029-0.23238700) × R
    9.32899999999959e-05 × 6371000     		dl = 594.350589999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23248029-0.23238700) × R
    9.32899999999959e-05 × 6371000     		dr = 594.350589999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47706803-0.47716390) × cos(0.23248029) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.973097950295621 × 6371000     		do = 594.35632705262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47706803-0.47716390) × cos(0.23238700) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.973119439311683 × 6371000     		du = 594.36945228082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23248029)-sin(0.23238700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.973097950295621-0.973119439311683)×R²
    abs(0.47716390-0.47706803)×2.14890160621373e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.14890160621373e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.14890160621373e-05×40589641000000     		ar = 353259.934403602m²