Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37742 / 28370
↖ ↑ ↗
← N 23.473324°
E 27.322998°		 ← 560.24 m → N 23.473324°
E 27.328491°		 →
↑
560.27 m
↓
↑
560.27 m
↓
N 23.468285°
E 27.322998°		 ← 560.26 m →
313 891 m²		 N 23.468285°
E 27.328491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575904846191406 y=0.432899475097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575904846191406 × 216)
    floor (0.575904846191406 × 65536)
    floor (37742.5)     		tx = 37742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432899475097656 × 216)
    floor (0.432899475097656 × 65536)
    floor (28370.5)     		ty = 28370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37742 / 28370 ti = "16/37742/28370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37742/28370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37742 ÷ 216
    37742 ÷ 65536     		x = 0.575897216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28370 ÷ 216
    28370 ÷ 65536     		y = 0.432891845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575897216796875 × 2 - 1) × π
    0.15179443359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47687628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432891845703125 × 2 - 1) × π
    0.13421630859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.421652969058014
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47687628} λ = 0.47687628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.421652969058014))-π/2
    2×atan(1.52447939135655)-π/2
    2×0.990241557418976-π/2
    1.98048311483795-1.57079632675     		φ = 0.40968679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47687628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.322998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40968679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.473324°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37742 KachelY 28370 0.47687628 0.40968679 27.322998 23.473324
    Oben rechts KachelX + 1 37743 KachelY 28370 0.47697215 0.40968679 27.328491 23.473324
    Unten links KachelX 37742 KachelY + 1 28371 0.47687628 0.40959885 27.322998 23.468285
    Unten rechts KachelX + 1 37743 KachelY + 1 28371 0.47697215 0.40959885 27.328491 23.468285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40968679-0.40959885) × R
    8.79400000000086e-05 × 6371000     		dl = 560.265740000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40968679-0.40959885) × R
    8.79400000000086e-05 × 6371000     		dr = 560.265740000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47687628-0.47697215) × cos(0.40968679) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.917245626257175 × 6371000     		do = 560.242410603861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47687628-0.47697215) × cos(0.40959885) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.917280651152091 × 6371000     		du = 560.263803381321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40968679)-sin(0.40959885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917245626257175-0.917280651152091)×R²
    abs(0.47697215-0.47687628)×3.50248949159138e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.50248949159138e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.50248949159138e-05×40589641000000     		ar = 313890.621778901m²