Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37740 / 30602
↖ ↑ ↗
← N 11.813588°
E 27.312012°		 ← 597.85 m → N 11.813588°
E 27.317505°		 →
↑
597.92 m
↓
↑
597.92 m
↓
N 11.808211°
E 27.312012°		 ← 597.86 m →
357 469 m²		 N 11.808211°
E 27.317505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575874328613281 y=0.466957092285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575874328613281 × 216)
    floor (0.575874328613281 × 65536)
    floor (37740.5)     		tx = 37740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466957092285156 × 216)
    floor (0.466957092285156 × 65536)
    floor (30602.5)     		ty = 30602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37740 / 30602 ti = "16/37740/30602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37740/30602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37740 ÷ 216
    37740 ÷ 65536     		x = 0.57586669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30602 ÷ 216
    30602 ÷ 65536     		y = 0.466949462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57586669921875 × 2 - 1) × π
    0.1517333984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47668453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.466949462890625 × 2 - 1) × π
    0.06610107421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.207662649154083
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47668453} λ = 0.47668453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.207662649154083))-π/2
    2×atan(1.23079788879621)-π/2
    2×0.888491167540459-π/2
    1.77698233508092-1.57079632675     		φ = 0.20618601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47668453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.312012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20618601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.813588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37740 KachelY 30602 0.47668453 0.20618601 27.312012 11.813588
    Oben rechts KachelX + 1 37741 KachelY 30602 0.47678040 0.20618601 27.317505 11.813588
    Unten links KachelX 37740 KachelY + 1 30603 0.47668453 0.20609216 27.312012 11.808211
    Unten rechts KachelX + 1 37741 KachelY + 1 30603 0.47678040 0.20609216 27.317505 11.808211
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20618601-0.20609216) × R
    9.38500000000064e-05 × 6371000     		dl = 597.918350000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20618601-0.20609216) × R
    9.38500000000064e-05 × 6371000     		dr = 597.918350000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47668453-0.47678040) × cos(0.20618601) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.978818863305624 × 6371000     		do = 597.850590752364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47668453-0.47678040) × cos(0.20609216) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.978838072735838 × 6371000     		du = 597.862323637407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20618601)-sin(0.20609216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978818863305624-0.978838072735838)×R²
    abs(0.47678040-0.47668453)×1.92094302140511e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.92094302140511e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.92094302140511e-05×40589641000000     		ar = 357469.346685221m²