Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3774 / 2566
↖ ↑ ↗
← N 55.627996°
W 14.150391°		 ← 2 758.74 m → N 55.627996°
W 14.106446°		 →
↑
2 759.66 m
↓
↑
2 759.66 m
↓
N 55.603178°
W 14.150391°		 ← 2 760.48 m →
7 615 593 m²		 N 55.603178°
W 14.106446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46075439453125 y=0.31329345703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46075439453125 × 213)
    floor (0.46075439453125 × 8192)
    floor (3774.5)     		tx = 3774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31329345703125 × 213)
    floor (0.31329345703125 × 8192)
    floor (2566.5)     		ty = 2566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3774 / 2566 ti = "13/3774/2566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3774/2566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3774 ÷ 213
    3774 ÷ 8192     		x = 0.460693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2566 ÷ 213
    2566 ÷ 8192     		y = 0.313232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460693359375 × 2 - 1) × π
    -0.07861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24697091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313232421875 × 2 - 1) × π
    0.37353515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.17349530269897
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24697091} λ = -0.24697091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17349530269897))-π/2
    2×atan(3.23327418281444)-π/2
    2×1.270844006232-π/2
    2.54168801246401-1.57079632675     		φ = 0.97089169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24697091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.150391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97089169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.627996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3774 KachelY 2566 -0.24697091 0.97089169 -14.150391 55.627996
    Oben rechts KachelX + 1 3775 KachelY 2566 -0.24620392 0.97089169 -14.106446 55.627996
    Unten links KachelX 3774 KachelY + 1 2567 -0.24697091 0.97045853 -14.150391 55.603178
    Unten rechts KachelX + 1 3775 KachelY + 1 2567 -0.24620392 0.97045853 -14.106446 55.603178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97089169-0.97045853) × R
    0.000433159999999932 × 6371000     		dl = 2759.66235999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97089169-0.97045853) × R
    0.000433159999999932 × 6371000     		dr = 2759.66235999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24697091--0.24620392) × cos(0.97089169) × R
    0.000766989999999995 × 0.564563764178162 × 6371000     		do = 2758.73704543371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24697091--0.24620392) × cos(0.97045853) × R
    0.000766989999999995 × 0.564921236900427 × 6371000     		du = 2760.48383349242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97089169)-sin(0.97045853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.564563764178162-0.564921236900427)×R²
    abs(-0.24620392--0.24697091)×0.000357472722264829×R²
    0.000766989999999995×0.000357472722264829×6371000²
    0.000766989999999995×0.000357472722264829×40589641000000     		ar = 7615593.17712221m²