Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37739 / 29853
↖ ↑ ↗
← N 15.808111°
E 27.306519°		 ← 587.69 m → N 15.808111°
E 27.312012°		 →
↑
587.72 m
↓
↑
587.72 m
↓
N 15.802825°
E 27.306519°		 ← 587.70 m →
345 403 m²		 N 15.802825°
E 27.312012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575859069824219 y=0.455528259277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575859069824219 × 216)
    floor (0.575859069824219 × 65536)
    floor (37739.5)     		tx = 37739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.455528259277344 × 216)
    floor (0.455528259277344 × 65536)
    floor (29853.5)     		ty = 29853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37739 / 29853 ti = "16/37739/29853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37739/29853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37739 ÷ 216
    37739 ÷ 65536     		x = 0.575851440429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29853 ÷ 216
    29853 ÷ 65536     		y = 0.455520629882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575851440429688 × 2 - 1) × π
    0.151702880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47658866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.455520629882812 × 2 - 1) × π
    0.088958740234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.279472124784927
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47658866} λ = 0.47658866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.279472124784927))-π/2
    2×atan(1.32243154921729)-π/2
    2×0.923349951067151-π/2
    1.8466999021343-1.57079632675     		φ = 0.27590358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47658866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.306519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27590358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.808111°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37739 KachelY 29853 0.47658866 0.27590358 27.306519 15.808111
    Oben rechts KachelX + 1 37740 KachelY 29853 0.47668453 0.27590358 27.312012 15.808111
    Unten links KachelX 37739 KachelY + 1 29854 0.47658866 0.27581133 27.306519 15.802825
    Unten rechts KachelX + 1 37740 KachelY + 1 29854 0.47668453 0.27581133 27.312012 15.802825
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27590358-0.27581133) × R
    9.22499999999604e-05 × 6371000     		dl = 587.724749999748m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27590358-0.27581133) × R
    9.22499999999604e-05 × 6371000     		dr = 587.724749999748m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47658866-0.47668453) × cos(0.27590358) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.962179440391052 × 6371000     		do = 587.687434736285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47658866-0.47668453) × cos(0.27581133) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.962204566714807 × 6371000     		du = 587.70278158754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27590358)-sin(0.27581133))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.962179440391052-0.962204566714807)×R²
    abs(0.47668453-0.47658866)×2.51263237556199e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.51263237556199e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.51263237556199e-05×40589641000000     		ar = 345402.960765537m²