Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37737 / 28935
↖ ↑ ↗
← N 20.596794°
E 27.295532°		 ← 571.75 m → N 20.596794°
E 27.301025°		 →
↑
571.73 m
↓
↑
571.73 m
↓
N 20.591652°
E 27.295532°		 ← 571.77 m →
326 892 m²		 N 20.591652°
E 27.301025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575828552246094 y=0.441520690917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575828552246094 × 216)
    floor (0.575828552246094 × 65536)
    floor (37737.5)     		tx = 37737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441520690917969 × 216)
    floor (0.441520690917969 × 65536)
    floor (28935.5)     		ty = 28935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37737 / 28935 ti = "16/37737/28935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37737/28935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37737 ÷ 216
    37737 ÷ 65536     		x = 0.575820922851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28935 ÷ 216
    28935 ÷ 65536     		y = 0.441513061523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575820922851562 × 2 - 1) × π
    0.151641845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.47639691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441513061523438 × 2 - 1) × π
    0.116973876953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.36748427248735
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47639691} λ = 0.47639691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.36748427248735))-π/2
    2×atan(1.44409708629576)-π/2
    2×0.965139100851686-π/2
    1.93027820170337-1.57079632675     		φ = 0.35948187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47639691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.295532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35948187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.596794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37737 KachelY 28935 0.47639691 0.35948187 27.295532 20.596794
    Oben rechts KachelX + 1 37738 KachelY 28935 0.47649278 0.35948187 27.301025 20.596794
    Unten links KachelX 37737 KachelY + 1 28936 0.47639691 0.35939213 27.295532 20.591652
    Unten rechts KachelX + 1 37738 KachelY + 1 28936 0.47649278 0.35939213 27.301025 20.591652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35948187-0.35939213) × R
    8.97400000000048e-05 × 6371000     		dl = 571.733540000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35948187-0.35939213) × R
    8.97400000000048e-05 × 6371000     		dr = 571.733540000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47639691-0.47649278) × cos(0.35948187) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.936079221893437 × 6371000     		do = 571.745740483615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47639691-0.47649278) × cos(0.35939213) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.936110787693217 × 6371000     		du = 571.765020488071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35948187)-sin(0.35939213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936079221893437-0.936110787693217)×R²
    abs(0.47649278-0.47639691)×3.15657997803642e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.15657997803642e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.15657997803642e-05×40589641000000     		ar = 326891.727918674m²