Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37736 / 28952
↖ ↑ ↗
← N 20.509355°
E 27.290039°		 ← 572.13 m → N 20.509355°
E 27.295532°		 →
↑
572.12 m
↓
↑
572.12 m
↓
N 20.504210°
E 27.290039°		 ← 572.15 m →
327 332 m²		 N 20.504210°
E 27.295532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575813293457031 y=0.441780090332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575813293457031 × 216)
    floor (0.575813293457031 × 65536)
    floor (37736.5)     		tx = 37736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441780090332031 × 216)
    floor (0.441780090332031 × 65536)
    floor (28952.5)     		ty = 28952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37736 / 28952 ti = "16/37736/28952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37736/28952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37736 ÷ 216
    37736 ÷ 65536     		x = 0.5758056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28952 ÷ 216
    28952 ÷ 65536     		y = 0.4417724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5758056640625 × 2 - 1) × π
    0.151611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.47630103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4417724609375 × 2 - 1) × π
    0.116455078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.365854417900269
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47630103} λ = 0.47630103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.365854417900269))-π/2
    2×atan(1.44174533506234)-π/2
    2×0.96437604590859-π/2
    1.92875209181718-1.57079632675     		φ = 0.35795577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47630103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.290039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35795577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.509355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37736 KachelY 28952 0.47630103 0.35795577 27.290039 20.509355
    Oben rechts KachelX + 1 37737 KachelY 28952 0.47639691 0.35795577 27.295532 20.509355
    Unten links KachelX 37736 KachelY + 1 28953 0.47630103 0.35786597 27.290039 20.504210
    Unten rechts KachelX + 1 37737 KachelY + 1 28953 0.47639691 0.35786597 27.295532 20.504210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35795577-0.35786597) × R
    8.98000000000287e-05 × 6371000     		dl = 572.115800000183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35795577-0.35786597) × R
    8.98000000000287e-05 × 6371000     		dr = 572.115800000183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47630103-0.47639691) × cos(0.35795577) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.936614997234424 × 6371000     		do = 572.1326572508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47630103-0.47639691) × cos(0.35786597) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.936646455813786 × 6371000     		du = 572.151873770562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35795577)-sin(0.35786597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936614997234424-0.936646455813786)×R²
    abs(0.47639691-0.47630103)×3.14585793622646e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.14585793622646e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.14585793622646e-05×40589641000000     		ar = 327331.630166592m²