Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37736 / 28937
↖ ↑ ↗
← N 20.586510°
E 27.290039°		 ← 571.84 m → N 20.586510°
E 27.295532°		 →
↑
571.86 m
↓
↑
571.86 m
↓
N 20.581367°
E 27.290039°		 ← 571.86 m →
327 021 m²		 N 20.581367°
E 27.295532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575813293457031 y=0.441551208496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575813293457031 × 216)
    floor (0.575813293457031 × 65536)
    floor (37736.5)     		tx = 37736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441551208496094 × 216)
    floor (0.441551208496094 × 65536)
    floor (28937.5)     		ty = 28937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37736 / 28937 ti = "16/37736/28937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37736/28937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37736 ÷ 216
    37736 ÷ 65536     		x = 0.5758056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28937 ÷ 216
    28937 ÷ 65536     		y = 0.441543579101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5758056640625 × 2 - 1) × π
    0.151611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.47630103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441543579101562 × 2 - 1) × π
    0.116912841796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.36729252488887
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47630103} λ = 0.47630103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.36729252488887))-π/2
    2×atan(1.44382021069345)-π/2
    2×0.965049352353994-π/2
    1.93009870470799-1.57079632675     		φ = 0.35930238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47630103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.290039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35930238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.586510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37736 KachelY 28937 0.47630103 0.35930238 27.290039 20.586510
    Oben rechts KachelX + 1 37737 KachelY 28937 0.47639691 0.35930238 27.295532 20.586510
    Unten links KachelX 37736 KachelY + 1 28938 0.47630103 0.35921262 27.290039 20.581367
    Unten rechts KachelX + 1 37737 KachelY + 1 28938 0.47639691 0.35921262 27.295532 20.581367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35930238-0.35921262) × R
    8.97599999999943e-05 × 6371000     		dl = 571.860959999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35930238-0.35921262) × R
    8.97599999999943e-05 × 6371000     		dr = 571.860959999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47630103-0.47639691) × cos(0.35930238) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.936142349470459 × 6371000     		do = 571.843939664663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47630103-0.47639691) × cos(0.35921262) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.936173907222389 × 6371000     		du = 571.863216764135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35930238)-sin(0.35921262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936142349470459-0.936173907222389)×R²
    abs(0.47639691-0.47630103)×3.1557751929312e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.1557751929312e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.1557751929312e-05×40589641000000     		ar = 327020.736436606m²