Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37732 / 29532
↖ ↑ ↗
← N 69.813100°
W 76.365967°		 ← 105.40 m → N 69.813100°
W 76.363220°		 →
↑
105.38 m
↓
↑
105.38 m
↓
N 69.812153°
W 76.365967°		 ← 105.40 m →
11 107 m²		 N 69.812153°
W 76.363220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.287876129150391 y=0.225315093994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.287876129150391 × 217)
    floor (0.287876129150391 × 131072)
    floor (37732.5)     		tx = 37732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225315093994141 × 217)
    floor (0.225315093994141 × 131072)
    floor (29532.5)     		ty = 29532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37732 / 29532 ti = "17/37732/29532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37732/29532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37732 ÷ 217
    37732 ÷ 131072     		x = 0.287872314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29532 ÷ 217
    29532 ÷ 131072     		y = 0.225311279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.287872314453125 × 2 - 1) × π
    -0.42425537109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.33283756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225311279296875 × 2 - 1) × π
    0.54937744140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.7259201339205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.33283756} λ = -1.33283756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7259201339205))-π/2
    2×atan(5.61768767731144)-π/2
    2×1.39463239348198-π/2
    2.78926478696397-1.57079632675     		φ = 1.21846846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.33283756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -76.365967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21846846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.813100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37732 KachelY 29532 -1.33283756 1.21846846 -76.365967 69.813100
    Oben rechts KachelX + 1 37733 KachelY 29532 -1.33278962 1.21846846 -76.363220 69.813100
    Unten links KachelX 37732 KachelY + 1 29533 -1.33283756 1.21845192 -76.365967 69.812153
    Unten rechts KachelX + 1 37733 KachelY + 1 29533 -1.33278962 1.21845192 -76.363220 69.812153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21846846-1.21845192) × R
    1.65400000000648e-05 × 6371000     		dl = 105.376340000413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21846846-1.21845192) × R
    1.65400000000648e-05 × 6371000     		dr = 105.376340000413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.33283756--1.33278962) × cos(1.21846846) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.345083610951763 × 6371000     		do = 105.397417236745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.33283756--1.33278962) × cos(1.21845192) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.345099134884579 × 6371000     		du = 105.402158645413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21846846)-sin(1.21845192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345083610951763-0.345099134884579)×R²
    abs(-1.33278962--1.33283756)×1.55239328156753e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55239328156753e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55239328156753e-05×40589641000000     		ar = 11106.6438901757m²